В этом сообщении я хочу рассказать о высших аксиомах бесконечности – такой вещи, про которую мало кто знает даже из математиков, а те, кто знает, как правило, запутались в заблуждениях. Есть такие люди, которые обожают мастурбировать на парадоксы. Они всегда готовы убедить вас, что человеческое мышление противоречиво из-за несовершенства эволюции, а математические рассуждения есть всего лишь чисто формальный вывод одних буковок из других, и эти люди всегда приведут различные доказательства этому, в том числе основанные на логических парадоксах, именно такие люди распространяют в массы больше всего заблуждений про основания математики вообще и теорию множеств в частности. Я же стараюсь убедить читателя, что все парадоксы – исключительно от глупости (не той, которая от несовершенства эволюции, а обычной, которая устраняется с помощью правильного обучения и физического выбивания дури). Поэтому я против мастурбаторов на парадоксы, ибо онанировать на собственную глупость – это плохо. Из-за таких вот популяризаторов-парадоксофилов многие считают, что проблемы оснований математики – это что-то настолько парадоскальное, противоречивое, что лучше туда просто не соваться, а использовать готовые проверенные годами аксиомы. Я не считаю это правильным. Всегда нужно понимать, откуда ноги растут.
Высшие аксиомы бесконечности (ВАБ) – это аксиомы, утверждающие в некотором смысле о существовании множеств очень большой мощности. Можно образно сказать, что они соотносятся с обычными теоретико-множественными аксиомами так же, как аксиома бесконечности (существования множества натуральных чисел) соотносится с аксиомами арифметики Пеано. Эти аксиомы – это не просто взятые с потолка утверждения, а вполне разумные расширения теории множеств, позволяющие получать “правильные”, “осмысленные” выводы.
Известно, что никакой абсолютной (максимальной) мощности множеств не существует (потому что для любого множества множество всех его подмножеств будет больше). Аналогично, не существует множества всех множеств.
Это означает, что понятие множества, вообще говоря, не является “само собой разумеющимся”. Иными словами, что мы назовем множеством, то и будет им. Это же и относится к понятию мощности множества, т.е. вопрос о том, насколько большими бывают мощности множеств, вообще говоря, бессмысленен. Какие мощности мы придумаем, такие и будут, все зависит от нашей фантазии, от того, насколько “общо”, “абстрактно” мы будем мыслить. Высшие аксиомы бесконечности как раз возникают от того, что математик помыслил очень “общо” и попытался это свое помысливание формализовать.
Примером ВАБ является утверждение о существовании строго недостижимого кардинала (IC – Inaccessible Cardinal), которое говорит, что существует кардинал A, обладающий следующими свойствами:
1) A несчётен.
2) Для любого B<A выполняется 2^B<A (здесь 2^B означает мощность множества всех подмножеств множества мощности B).
3) Множество мощности A не представляется в виде объединения меньшего A (по мощности) семейства множеств, каждое из которых по мощности меньше A.
Замечание. Несмотря на то, что придумывание новых мощностей – это процесс творческий, неформализуемый, он идет по строго определенному пути, т.е. он напоминает Платоновское припоминание сущностей из мира идей. Например, если мы придумали некоторый мир множеств, в котором нет континуума, то он весь состоит из множеств, меньших, чем континуум, т.е. в творческом процессе придумывания мощностей мы либо не дойдем до континуума, либо пройдем через него (обойти не получится). Однако, сам мир идей, если он есть, тоже можно рассматривать как некоторое множество, которого в этом мире идей нет, и нет множества такой мощности (если оно там есть, то есть и все его подмножества, которых, согласно теореме Кантора, больше, чем всего элементов в этом мире), т.е. процесс придумывания новых мощностей все-таки нельзя рассматривать как припоминание объектов из уже существующего мира. Вот такой вот парадокс мышления!
Высшие аксиомы бесконечности, как правило, независимы с аксиоматикой теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC) и используются для расширения этой аксиоматики. Эти абстракции настолько далеки от реального (физического) мира, что, казалось бы, не имеют никакого применения, а являются просто игрой ума. Но, на самом деле, их использование может диктоваться как раз практическими мотивами! В частности, они позволяют доказывать истинные арифметические утверждения, которые нельзя доказать в ZFC (примером такого утверждения является непротиворечивость ZFC). Например, не исключено, что многие известные проблемы теории сложности можно будет решить, используя подходящую ВАБ. Иными словами, вопрос о нужности/ненужности высших аксиом бесконечности для инженерии на данный момент открыт.
Математика – это такая наука, которая создавалась, чтобы можно было не думать. Всё было хорошо, пока Гёдель в 193? году не испортил всем малину. Поиск новых высших аксиом бесконечности как раз является способом, с помощью которого можно ПОДУМАТЬ и расширить класс утверждений, которые можно получать, не думая. Чтобы в этом деле не ошибаться, нужно достаточно долго и упорно “медитировать” над ВАБ, при этом понимание возникает только в кратковременные моменты озарения, всё остальное время мы можем только пользоваться результатом этого озарения (сформулированной аксиомой). В обычном состоянии сознания понимания быть не может, поэтому всегда остаётся какая-то доля сомнения в осмысленности всех этих построений.
В математической литературе ВАБ исследуются на предмет возможности вывода с их использованием каких-либо утверждений (например, континуум-гипотезы или её отрицания), при этом сами ВАБ рассматриваются как взятые с потолка гипотезы, вопрос об их осмысленности не рассматривается. Это и понятно, ведь “понимание” осмысленности для таких абстракций не передаётся от одного человека к другому в виде текста. С другой стороны, в виде текста можно передать некоторые наводящие соображения, которые позволят читателю самому дойти до смысла. Не думаю, что подобные “тексты” получат большое распространение, ведь достаточно одному математику публично облажаться с подобными рассуждениями, чтобы такой подход был признан сообществом бесперспективным (придумать противоречивую аксиоматику, например, подобно тому, как было в начале 20 века с парадоксом Рассела). Тем не менее, я хочу убедить читателя, что использование ВАБ – это вполне разумный, законный способ расширения теории множеств, к тому же, способный давать потрясающие результаты.
Некоторые характерные особенности ВАБ (общематематические, неформальные)
Просьба сильно всерьёз их не воспринимать :)
1) Понятие высшей аксиомы бесконечности неформализуемо, поэтому бесполезно для какой-то конкретной формулы спрашивать, является ли она ВАБ или нет.
2) Практически любая ВАБ позволяет вместе с ZFC легко доказать непротиворечивость ZFC (через прямое предъявление модели).
3) Практически для любой ВАБ легко доказывается её недоказуемость в ZFC (для этого достаточно только аксиом ZFC и утверждения об их непротиворечивости).
4) Неопровержимость ВАБ в ZFC, как правило, доказывается труднее, для этого нужны средства, выходящие за рамки данной конкретной ВАБ, и уж тем более ZFC.
5) ВАБ в объединении с ZFC, как правило, даёт возможность доказать непротиворечивость ZFC с более слабыми ВАБ.
6) Как следствие из предыдущего, добавление более сильной высшей аксиомы бесконечности, как правило, дает новые доказуемые истинные арифметические утверждения.
7) Как правило, чем больше кардинал, существование которого (в некотором смысле) утверждает аксиома, тем она сильнее (т.е. тем шире множество следующих из неё утверждений, в том числе арифметических).
8) Попытка сопоставить каждому утверждению (например, арифметическому) минимальный кардинал, утверждение о существовании которого нужно для разрешения (доказательства или опровержения) данного утверждения, обречена на провал. Причина этого в том, что сопоставление кардиналам утверждений об их существовании – это процесс творческий, неформализуемый (как и придумывание всё более и более больших кардиналов).
9) Возможно, что, подобрав подходящую высшую аксиому бесконечности, можно доказать или опровергнуть континуум-гипотезу (хотя это должно быть что-то очень грандиозное).
10) Не исключено, что с помощью подходящей высшей аксиомы бесконечности можно конструктивно доказать аксиому выбора (т.е., предъявить свойство, которому удовлетворяет ровно одна функция выбора для каждого множества, и доказать этот факт).
11) Не исключено, что истинность любого утверждения формальной арифметики можно установить, используя подходящую аксиому бесконечности.
Аксиома подстановки из ZFC основана на идее недостижимого кардинала!
Мало кто знает, что аксиоматика ZFC уже содержит одну высшую аксиому бесконечности – cхему аксиом подстановки (или схему преобразования, см. статью из википедии “аксиоматика теории множеств”).
Схема подстановки – это множество аксиом, по одной для каждой логической формулы Ф(x,y). Аксиома для формулы Ф выглядит следующим образом:
если для любого x существует и единственен y, такой, что Ф(x,y), то для любого множества A существует множество
B={y: существует x, принадлежащий A, для которого Ф(x,y)}.
По началу кажется, что в аксиоме нет ничего криминального – ну для каждого элемента x из A выбрали по соответствующему элементу y и собрали из них B, да и всё. Но, на самом деле, тот факт, что элементы y могут находиться “где угодно в универсуме”, т.е., для них не указано какое-то множество, внутри которого они обязаны находиться, делает схему подстановки подозрительно похожей на неограниченную схему свёртывания Кантора-Фреге (которая приводит к противоречию).
Схема свёртывания представляет из себя множество аксиом вида
“существует A={x: Ф(x)}”,
по одной аксиоме для каждой логической формулы Ф. Например, если Ф – тождественная истина, то мы получили бы множество всего. В схеме подстановки мы как бы разрешаем выбрать для каждого элемента A по одному, удовлетворяющему некоторому свойству, и составить из них множество, но если бы мы разрешили взять не один, а сколько угодно элементов для каждого, то получили бы нечто очень похожее на схему свёртывания, и тоже приводящее к противоречию. Таким образом, возникает резонный вопрос: как наложенное ограничение (что можно брать только по одному элементу) защищает нас от противоречия? Этот вопрос далеко не праздный, и, чтобы на него ответить, нужно будет воспользоваться идеями, родственными идее недостижимого кардинала (он будет возникать при попытке как-то “конструктивно” описать универсум) .
Например, если множества представлять деревьями, и вселенную множеств считать состоящей из всех деревьев мощности меньшей, чем некоторая заданная, то для выполнения всех аксиом ZFC в этой вселенной, эта заданная мощность должна быть недостижимым кардиналом (на самом деле, можно и меньше, но, чтобы всё получилось естественным путём, нужна недостижимость), и основным препятствием для использования чего-то более маленького и простого будет как раз аксиома подстановки.
Ну ладно, если аксиома подстановки плохая, то что будет, если её убрать, заменив, например, некоторым набором более очевидных технических аксиом? Во-первых, сама теория сильно ослабнет, например, в такой теории нельзя будет даже доказать существование множества
Ослабнет она и в смысле множества всех арифметических утверждений, которые можно в ней доказать. Например, непротиворечивость ZFC без аксиомы подстановки можно доказать в ZFC, но нельзя без аксиомы подстановки.
Если очень хочется получать в теории без аксиомы подстановки “большие” кардиналы, можно добавить в неё несколько специальных аксиом для таких построений, например, можно разрешить трансфинитную рекурсию вида
Единственный недостаток такой аксиоматики будет в том, что она будет некрасивой, будет сразу виден способ её расширения. Вообще говоря, теорема Гёделя о недоказуемости непротиворечивости нам намекает, что любая вменяемая непротиворечивая теория является высосанной из пальца, но в случае ZFC это не так явно видно, как в нашем случае с отказом от аксиомы подстановки. Таким образом, аксиома подстановки даёт ZFC красоту, какую-то логическую завершённость, за которой стоит идея недостижимого кардинала.
В связи с этими наблюдениями кажется глупостью принимать ZFC и не принимать недостижимый кардинал. Ещё бОльшей глупостью кажется принятие, например, стандартной модели для ZFC, но категорическое непринятие недостижимого кардинала.
Построение недостижимого кардинала
Пусть есть некоторый набор множеств. Разрешим делать с ним две операции:
1) Если в наборе есть множество A, то можно добавить в него 2^A.
2) Если в наборе есть множество мощности K, то можно добавить в набор объединение любых не более K множеств из набора.
Тогда, если набор состоит изначально только из одного счётного множества, то, замкнув его относительно операций 1 и 2, мы получим набор, мощность которого есть недостижимый кардинал (мощность объединения всех множеств набора тоже будет недостижимой).
Основной вопрос к этому построению: как обосновать, что требуемое замыкание существует? Вопрос, естественно, далеко не праздный, потому что, если в определении операции 2 убрать требование, что объединять можно не более K множеств, то замыкание перестанет существовать (и это доказывается). Почему же это ограничение делает замыкание существующим?
Здесь можно дать такое объяснение. Когда ограничение есть, замыкание есть множество всех объектов, которые можно построить только из исходных с помощью некоторых заданных операций. В этом случае у нас всё строго определено (как можно строить объекты, а как нельзя), поэтому вполне разумно считать осмысленной такую вещь, как совокупность всех объектов, которые можно получить с помощью этих операций. Когда же мы снимаем ограничение на мощность объединения, мы разрешаем в качестве мощности объединения использовать что угодно (в том числе то, чего у нас нет), и у нас возникает проблема с тем, что нельзя разделить мощности на те, которые существует и на те, которые нет (придумывание мощностей – это чистая ничем не ограниченная свобода воли). В этом случае сам “граф” построения может быть каким угодно, и возникает та же проблема с недетерминированностью творческого акта. Что-то в этом объяснении есть, не так ли? Но не совсем убеждает, ведь так?
Тут есть один тонкий момент: несмотря на то, что мы при объединении используем только уже построенную мощность, мы можем как угодно выбирать объекты для объединения из вселенной (а вселенной у нас как таковой нет, ещё нет). Тут тоже возникает вопрос о корректности этого дела. Здесь, видимо, имеет смысл представить это не как выбор нужного числа объектов из вселенной, а как запуск нужное число раз процедуры построения, каждая из которых может быть какой угодно, но в чётких рамках правил. Но всё равно какое-то сомнение в корректности этой процедуры остаётся… И до конца текстом не убедить в корректности. Здесь читатель должен сам как следует поразмышлять над этим и убедиться, что так всё-таки делать можно. ДА, ЧЁРТ ВОЗЬМИ, МОЖНО!
Замечание: если что-то называется недостижимым, то это ещё не значит, что оно на самом деле совсем недостижимо.
Что там дальше, за недостижимым кардиналом?
Способов усиления аксиомы IC сколько угодно. Например, можно постулировать существование двух разных недостижимых кардиналов или бесконечного их числа. Можно постулировать, что для каждого кардинала есть недостижимый, который больше. Бывают ещё всякие гипер-недостижимые (hyper-inaccessible, см. англоязычную википедию). Каждое такое усиление будет реально давать что-то новое, в том числе для формальной арифметики, и осмысленность такой аксиомы будет обосновываться примерно так же, как и для IC. Но это всё – топтание на месте. Какое можно сделать существенное усиление?
Способы есть. Можно, например, заметить, что использование в определении недостижимости операции 2^A высосано из пальца. Иными словами, можно обобщить это для произвольной операции (вообще, это хороший способ строить ВАБ: выявлять, что высосано из пальца в уже существующих аксиомах, и пытаться это обобщать). Тогда у нас получается такая схема аксиом замыкания (по аксиоме для каждой логической формулы Ф(x,y)): если для любого x существует и единственен у, для которого Ф(x,y), то для любого множества A существует множество B, обладающее следующими свойствами:
1) A – подмножество B.
2) Если x принадлежит B и Ф(x,y), то y принадлежит B.
3) Если B содержит множество мощности K, то объединение любых не более K множеств из B лежит в B.
Если пытаться построить естественную модель для ZFC и аксиомы замыкания, то её мощность будет так называемым кардиналом Мало в честь математика P.Mahlo (хотя более правильно было бы называть такие кардиналы кардиналами Много или даже Очень Много).
Дадим определение кардинала Мало. Через C[<K] будем обозначать множество всех кардиналов, меньших K. Кардинал K0 называется кардиналом Мало, если:
1) Для любого K<K0 имеет место 2^K<K0.
2) Для любой функции F: C[<K0] -> C[<K0] существует ненулевой кардинал K<K0, такой, что:
— a) точная верхняя грань любого меньшего K семейства из кардиналов, меньших K, меньше K (иными словами, C[<K] замкнуто относительно супремума <K элементов);
— б) для любого K1<K выполнено F(K1)<K (иными словами, F(C[<K]) – подмножество C[<K]).
Отметим, что здесь не требуется несчётность K0, т.е., используя описанный способ “достижения кардиналов”, можно достичь счётного из конечных.
Дадим эквивалентное определение. K0 есть кардинал Мало, если для любой функции F: C[<K0] -> C[<K0] существует недостижимый кардинал K<K0, для которого F(C[<K]) – подмножество C[<K].
Ещё одно эквивалентное определение есть в англоязычной википедии (оно сильно через задницу).
Можно сказать, что существование кардинала Мало соотностится с рассмотренной ранее аксиомой замыкания так же, как существование недостижимого кардинала соотносится с аксиомой (схемой) подстановки в ZFC. Аналогично, можно считать эти аксиомы основанными на одной идее.
Кому-то переход к кардиналу Мало покажется сильным скачком, но, например, с точки зрения возможности доказательства или опровержения континуум-гипотезы он не даёт ровным счётом ничего по сравнению с ZFC, даже все доказательства независимости переносятся практически без изменений. Иными словами, для решения континуум-проблемы нужно нечто намного более грандиозное. Кстати, это свойство отностится ко всем ВАБ: с одной стороны они кажутся чем-то радикальным, совершенно новым по сравнению с тем, что использовалось до этого, а с другой – топтанием на месте с лишь незначительными косметическими изменениями.
Долой недостижимость, или бесполезные аксиомы
Можно заметить, что все перечисленные выше аксиомы могут быть сформулированы в виде существования кардинала, в каком-то смысле недостижимого из меньших. Попытаемся придумать ВАБ совершенно иного типа.
Все вышеперечисленные аксиомы записываются в виде
где 
Описанное свойство замечательно тем, что для любого предъявленного придуманного (сотворённого свободной волей) множества A его можно проверить (потому что для проверки достаточно поработать только с подмножествами A, не лазя по всей вселенной, которая ещё не известно, какая). Это означает, что, в принципе, можно себе помыслить, что когда-нибудь мы найдём (придумаем) для каждой такой формулы по множеству A, либо установим, что такого множества быть не может. Для всех этих множеств для всех формул можно взять объединение.
Из этого рассуждения получается такая высшая аксиома бесконечности: существует такое множество M, что любая “хорошая” формула Ф(A) либо тождественно ложна, либо истинна на каком-нибудь подмножестве M. Это есть пример высшей аксиомы бесконечности, которая не является утверждением о недостижимости. Кому-то может показаться, что такая аксиома неизбежно даст противоречие, но, думаю, эти опасения не имеют оснований. В полезности такой аксиомы для чего-либо, конечно, я сильно сомневаюсь, но сам подход вполне может быть полезным.
UPD: эта “аксиома” доказуема в ZFC, что ещё раз подчёркивает её бесполезность :)
Что почитать?
Какого-либо последовательного учебника на эту тему найдено не было. Если кто-то порекомендует, буду очень признателен. Могу порекомендовать отдельные статьи, походить по ссылкам:
1) Англоязычная википедия, статьи “Inaccessible Cardinal”, “Mahlo Cardinal”, “Grothendieck universe”, по ссылкам.
2) П. Дж. Коэн “Об основаниях теории множеств” – на эту тему немного, но полезно, иная точка зрения.
3) Курт Гёдель “О гипотезе континуума Кантора” – аналогично Коэну.
4) Akihiro Kanamori “The Higher Infinite” – разобрано много разных гипотез, всё, в-основном, рассматривается с точки зрения форсинга. В бесплатном доступе нет, желающему пошлю на мыло.
5) Harvey M. Friedman “Finite functions and the necessary use of large cardinals” и другие статьи этого автора, погулять по ссылкам. Якобы приводятся примеры разных красивых “комбинаторных” утверждений, требующих больших кардиналов для доказательства. Дальше введения не читал, поэтому точно сказать не могу.
6) Andrey Bovykin (Андрей Бовыкин) – разные статьи (на английском, несмотря на русское происхождение автора). Есть полезная информация и ссылки на эту тему.
См. также:
Теорема Гёделя о недоказуемости непротиворечивости
Мифы об основаниях математики
Вымышленные сущности
Логические парадоксы и биология
