Magia и наука: ДУМАЙ и никому не верь на слово!

Продолжение. Начало здесь.

Дальше речь пойдёт только о том, как из квантовой механики получается классическая. Формул много. Если кому-то лень разбираться в выкладках, он может прочитать конечные результаты в формулах, которые обведены в рамку.

Требуемые знания из математики и обозначения

Достаточно понимания перечисленных ниже фактов на физическом уровне строгости (на уровне “интеграл-это площадь, производная-скорость”). Вообще, при изучении физики крайне не рекомендуется использовать математический уровень строгости (потому что это требует много времени, а жизнь коротка :) ).

Суммирование:

Если вектор обозначается каким-то символом, то его компоненты автоматически обозначаются этим же символом с приписанным индексом, например:

Скалярное произведение векторов и :

Модуль вектора: .

Градиент функции векторного аргумента

Комплексно-сопряжённое число:

Экспонента комплексного числа:

Интеграл функции векторного аргумента по всему пространству:

(иногда вместо будет писаться просто ).

Интегрирование по частям: если стремится к нулю на бесконечности, то

Неравенство треугольника:

Теорема о диагональном преобладании: если , – вещественные функции, , , то

Интеграл Фурье: если

то

при выполнении некоторых условий на гладкость и её убывание на бесконечности (которые мы формулировать не будем, чтобы не загромождать текст). Замечание: очень хочется обойтись без Фурье, но, к сожалению, без него очень грустно.

Конкретные интегралы:
(гауссов интеграл),
(считается заменой переменных ),

(считается сведением к гамма-функции заменой , про которую легко ищется в интернете, либо выражением через интеграл и переходом к полярным координатам) и, как следствие,
(I0),
(I1),
(I2).

Изменение спектра Фурье при умножении на линейную функцию (LF): если


то

Преобразование Фурье гауссовой функции:
(F0).

Преобразование Фурье свёртки функций (CONV): если

то

Скалярное произведение преобразований Фурье (FPROD): если

то

Также будут использоваться некоторые интуитивно очевидные свойства интегралов, которые в явном виде формулироваться не будут (такие, как линейность интеграла, переход от двойного интеграла к повторному, замена переменной (для простых частных случаев), перенос дифференцирования под знак интеграла и т.д.).

Классический мультиверс

Теперь займемся объяснением того, как квантовая механика переходит в классическую на макромасштабах. Чтобы показать, что свойства квантового мультиверса близки к классическим, определим понятие классического мультиверса. Мультиверс описывается функцией плотности (не путать с матрицей плотности)

где – координаты всех частиц, – соответствующие им импульсы. По смыслу, – это плотность вероятности обнаружить мир в момент времени в состоянии с координатами и импульсами .
Функция плотности должна обладать следующим свойством: для любой функции , удовлетворяющей условию

где – массы частиц, – потенциальная энергия взаимодействия, значение интеграла

не зависит от времени. Поясним это. Здесь – это “пятно”, все точки которого движутся по классическим траекториям:


т.е., на каждой такой траектории значение постоянно. Наше условие на можно трактовать так, что вероятностное распределение движется вместе с “пятном” (почему это выражает свойство классичности, оставим на размышление читателю). Для квантового мультиверса мы докажем, что производная достаточно мала по модулю, причём, она тем меньше, чем более размыта функция . Мы могли бы составить для дифференциальное уравнение и доказывать, что в квантовом случае оно “почти выполняется”, но, к сожалению, в квантовом случае функция при малых изменениях аргументов ведёт себя настолько безобразно, что ни о каких дифференциальных уравнениях не может быть и речи (там сплошь и рядом получаются интерференционные минимумы и максимумы, между которыми расстояние очень маленькое, т.е., ими можно пренебречь, но на производные они влияют значительно).

Координатно-импульсное распределение в квантовой механике

Определим его как

где – параметр, связанный с точностью определения координат и импульсов (чем он больше, тем более точно определяется координата, и тем менее точно определяется импульс). В принципе, вместо функции в этом определении можно было бы взять и другую функцию, но эта очень удобна с вычислительной точки зрения и очень хорошо подходит по гладкости.

Отметим некоторые замечательные свойства этого распределения. Во-первых,

где

Во-вторых, пользуясь этим и свойством интеграла Фурье, можно получить, что
,
где – некоторая константа, т.е., вероятностное распределение вполне согласуется с изначальным определением мультиверса.

Замечание 1. Координатно-импульсное распределение – это искусственное построение, созданное для обоснования наблюдаемой классичности мира, не следует его рассматривать как какой-то фундаментальный физический принцип.

Замечание 2. Обратите внимание, что – это функция, принимающая вещественные значения. В некоторых книжках тоже вводятся похожие функции, которые тоже подчиняются уравнениям, похожим на уравнения классической (статистической) физики, но при этом у них эти функции комплекснозначные, то есть получаются комплексные вероятности. Указывая на это, авторы этих книжек как бы показывают особый мистический характер квантовой механики. Не стоит воспринимать это всерьёз.

Основные вопросы для рассмотрения

Итак, как уже упоминалось, волновая функция – это пятно, которое очень быстро расплывается в конфигурационном пространстве. Чтобы понять, откуда берётся классичность наблюдаемых явлений, нужно ответить на следующие вопросы:

1. Почему вообще нелокализованный волновой пакет (пятно) может иметь какие-то околоклассические свойства?

Для локализованных пакетов это хорошо описано в учебниках по квантовой механике, как правило, с пренебрежением эффектом размывания. Рассмотрение же поведения нелокализованных пакетов найти в учебниках крайне трудно (а оно вообще есть?).

2. Как объяснить отсутствие или малость шума от параллельных миров?

Расплывшееся пятно мультиверса – это вещь очень огромная. Если пятно расплывается по каждой координате с видимой глазом скоростью, а координат как минимум , то можно себе представить, каких размеров оно достигло за несколько миллиардов лет. Таких размеров объект неизбежно должен был бы шуметь, потому что каждая часть этого огромного пятна как-то воздействует на ту часть, что мы непосредственно наблюдаем. Это аналогично тому, что сумма случайных величин, равномерно распределённых от -1 до 1, имеет в среднем порядок (а вовсе не ноль), и если очень большое (а оно очень большое!), то и эта величина будет очень большой, даже, если отдельные слагаемые малы. Здесь даже больше важен не размер пятна, а его большая размерность, из-за которой
“количество” влияющих миров растёт очень быстро с расстоянием от рассматриваемого мира, а уровень влияния, возможно, убывает не очень быстро. Этот вопрос здесь будет рассмотрен для нашей простой модели, но читателю настоятельно рекомендуется рассмотреть этот вопрос для современных квантовомеханических теорий, например, разновидностей теории струн. Вполне возможно, что ответ на него окажется отрицательным (то есть, параллельные миры должны шуметь).

3. Как объяснить отсутствие макроскопических интерференций между мирами и других “нехороших” волновых явлений?

Как мы уже отмечали, при расплывании пятна отдельные его части вторично расплываются и
неизбежно должны взаимодействовать, в том числе с образованием интерференций, и они будут. Отсутствие таких эффектов на макромасштабах мы объясним лишь отчасти. Дело в том, что бывает два типа таких эффектов: “быстрые” – например, один конец пятна перекрылся с отражённым от чего-то другим концом, и в результате интерференции макроскопическая часть мультиверса исчезла, и “медленные” – небольшие НЕСЛУЧАЙНЫЕ отклонения на больших отрезках времени приводят к интересным эффектам, отличающимся от классических. Остутствие “быстрых” эффектов мы докажем, “медленных” – нет. Более того, утверждение об отсутствии медленных эффектов является ложным. Например, в реальности на волновую функцию накладываются требования симметрии, например, антисимметричности,
если мы имеем дело с тождественными фермионами:

Эти условия симметрии как раз создают эти самые неслучайные отклонения . Например, именно благодаря им образуются твёрдые тела и появляются некоторые термодинамические свойства или, например, связанные с электропроводностью. Поэтому условие отсутствия таких “медленных” эффектов должно быть переформулировано с учётом симметрий, что выходит сильно за рамки этой статьи. Вообще, здесь рекомендуется пользоваться идеей несовершенства мира: если , то при сложении, конечно, будут интерференционные эффекты, но в связи с некореллированностью фаз и очень быстрым их изменением при изменении координат, расстояния между интерференционными минимумами и максимумами будут очень маленькими, в связи с чем на макромасштабах ими можно пренебречь.

Оценка величин для типичного мультиверса

Напомню, что мы собираемся сравнить величины и и доказать, что последняя сравнительно невелика. Каждая из этих величин, как мы увидим позже, представляется в виде

где – непрерывная функция, удовлетворяющая условию

которая для каждой величины своя. Напомню, что в реальности мультиверс – это нечто очень большое по сравнению с той его частью, что мы собираемся анализировать, и всегда можно сконструировать его так, чтобы одна величина была очень большой, а вторая – нет, для этого нужно сделать, чтобы весь огромный мультиверс прицельно “бил” по той маленькой части, что мы исследуем, и создавал в ней нужные эффекты. Вообще, доказывать в квантовой механике что-либо для худшего случая – дело крайне неблагодарное, потому что худший случай очень плох. Чтобы избежать этой проблемы, мы будем рассматривать для величин среднее значение (среднеквадратичное, ибо нас интересуют отклонения величин от нуля, а не сами величины). Определить реалистичное вероятностное распределение на мультиверсах – задача
крайне непростая, поэтому мы сделаем такой трюк: сначала будем считать, что волновая функция – это конечномерный комплексный случайный вектор , распределённый равномерно по единичной сфере, – это матрица , получим формулу для среднеквадратичного значения величины и тупо перенесём её на непрерывный случай, заменив где нужно суммы на интегралы.

Итак, случайный комплексный вектор равномерно распределён по единичной комплексной сфере, это значит, что:

1. ( означает вероятность).
2. Вероятностное распределение не меняется при поворотах вектора, т.е.
   - 2A) при умножении любой компоненты на комплексное число с модулем 1;
   - 2B) при перестановке компонент вектора;
   - 2C) при замене и на и соответственно (другие повороты нам не нужны).

Комплексная матрица обладает свойством .

Имеем

( – матожидание). Ясно, что, чтобы слагаемое не было равно нулю, каждая переменная должна входить в него столько же раз, сколько ее сопряжение (это вытекает из пункта 2A определения равномерной распределённости на сфере). Из этого следует, что нужное матожидание равно

Чтобы это посчитать, нужно уметь считать

Для этого введем дополнительные переменные

Имеем

(первое равенство следует из пункта 2C определения равномерности распределения на сфере, второе получается аккуратным раскрытием скобок, приведением подобных и удалением слагаемых, в которых степень какой-либо переменной отличается от степени её сопряжения). Кроме того,

откуда находим

т.е., нужное матожидание равно

Перенося эту формулу на непрерывный случай, получим с точностью до константы

(диагональный член исчезнет).

В связи с этим для функций от двух векторных аргументов введём норму

которая будет оценивать среднеквадратичное значение величины

с точностью до константы.

Характеристики потенциальной энергии и шумы параллельных миров

Уровень шумов от параллельных миров зависит, вообще говоря, от функции . Эту функцию тоже (как и ) можно специально сконструировать так, чтобы большая часть мультиверса прицельно била в какой-то его небольшой участок, создавая странные эффекты. Чтобы как-то воспользоваться отсутствием такого целенаправленного конструирования в реальных случаях, введём характеристику этой функции , через которую потом будет оцениваться уровень шумов:

Смысл формул будет понятен позже из доказательства нужной оценки. Но уже сейчас можно заметить, что, если функция квадратичная, то первый множитель в формуле для будет модулем линейной функции (то есть модулем координаты, умноженным на константу, в другой системе координат), поэтому можно в явном виде посчитать эти интегралы, воспользовавшись формулой (I1) из списка в начале статьи:


(здесь означает производную по направлению ).

Более того, можно доказать, что формулы справедливы для любой функции (с некоторыми ограничениями на гладкость и поведение на бесконечности), если сделать предельный переход и (отношение точного и приближённого значений стремится к 1). Поскольку – величина как бы достаточно большая, а – маленькая, можно считать эти формулы неплохим приближением. Но здесь важно заметить, что большое значение и малость с лихвой компенсируется большой размерностью пространства , поэтому читателю настоятельно рекомендуется изучить поведение и для конкретных . В частности, читатель может увидеть, что при многих для некоторых будут получаться значения, значительно превышающие выписанные выше оценки через вторые производные, но в среднем отличие будет небольшим. Также читателю рекомендуется подумать, можно ли обобщить идею этих характеристик на более современные квантовомеханические теории.

Оценка классичности

В формулах для оценок будет использоваться Фурье-спектр :

Здесь s-это не индекс, а просто обозначение, указывающее на то, что это спектр (spectra).

Оценим сначала величину для “типичного мультиверса”. Ясно, что

где

Для оценки нужно (как было замечено выше) оценить



где

Аккуратный подсчёт с использованием формул (I0) и (F0) даёт

Далее, применяем всё тот же (F0), а также (CONV) и (FPROD), получаем

Теперь займёмся оценкой . Поскольку

для вычисления сделаем следующее: вынесем дифференцирование под знак интеграла, применим формулу производной произведения, применим формулы для (см. раздел про классический мультиверс) и (уравнение Шрёдингера), применим интегрирование по частям с целью избавиться от производных по координатам, получим

где




Теперь заметим, что


и с использованием этого избавимся от производных по в формуле для в первых двух слагаемых под знаком суммы, два раза применив интегрирование по частям, получим

Чтобы оценить величину для типичного мультиверса, нам нужно вычислить и оценить

Для этого представим в виде суммы и воспользуемся неравенством треугольника

где

Начнём с . Для начала запишем в таком виде:


Для подсчёта сделаем замену переменных
,
:







где



Последнее неравенство следует из теоремы о диагональном преобладании (см. список фактов в начале текста). Таким образом,

Теперь вычислим (в отличие от , это будет точное вычисление, а не оценка). Для начала перепишем формулу для в виде


Далее, для подсчёта используем ту же самую замену , :


где



Этот интеграл нужно аккуратно посчитать с использованием (I0), (I2) и , получается

где


Имеем

применяя (CONV) и (FPROD), получаем

где

Применяя (F0) и (LF), находим :

Итого:

Всё. Осталось заметить, что оценкой величины у нас является

Что следует рассмотреть ещё?

1. Лучше рассмотреть “средний” случай (чтобы он стал ещё ближе к среднему и дальше от худшего), в том числе лучше определить понятие “типичный мультиверс”. Исследовать, насколько грубой делают оценку заменение величин модулями и использование диагонального преобладания (см. вывод оценки для ).
2. Рассмотреть, что в реальности может быть в худшем случае (макроскопические квантовые эффекты).
3. Лучше описать особенности потенциальной энергии U и использовать это в оценке.
4. Рассмотреть, что дают симметрии волновой функции (тождественность частиц), создающие “неслучайные” отклонения от классики (твёрдые тела, молекулы, атомы и т.п.).
5. Сформулировать, что значит “малость шумов от параллельных миров” без использования искусственных построений типа координатно-импульсного распределения.
6. Почему паразитное влияние параллельных миров не портит термодинамические свойства?
7. Почему паразитное влияние параллельных миров не портит результаты экспериментов, в которых в чистом виде проявляется квантовая механика, например, эксперименты на ускорителях?
8. Рассмотреть, что происходит при переходе к квантовой теории поля.
9. Что было бы, если бы в уравнении эволюции волновой функции был небольшой нелинейный член?