Рассмотрим некоторые чувства (ощущения), которые так или иначе связаны с состоянием мозга, и отметим некоторые их особенности. При этом мы постараемся анализировать не факторы, вызывающие эти ощущения (воздействия на тело человека, процессы в мозгу), а сами ощущения. Это может помочь читателю в анализе его собственных переживаний. Анализ чувств затрудняется тем, что некоторые чувства нельзя воспроизвести сколько угодно раз (человек привыкает и начинает испытывать уже другое чувство вместо этого), а некоторые вообще возникают один раз в жизни (и потом успешно забываются, потому что при обращении к памяти может возникнуть не любое чувство из доступных человеку).

Тем, кто в упор не понимает проблем материализма, предлагаю задуматься над такими вопросами:

1. Пусть весь набор ощущений в конкретный момент времени однозначно выражается через состояние мозга в этот момент. Каждому состоянию соответствует некоторое ощущение. Почему эта связь именно такая, а не какая-то другая? Является ли это каким-то особым законом природы или это следует только из законов физики (в общепринятом смысле), пусть ещё и не открытых до конца?
2. В какой форме можно выразить эту связь (если рассматривать её как какой-то закон природы, независимо от того, выводится ли он из законов физики)? Можно ли её записать в виде математических уравнений или выразить словами? Если рассматривать эту связь как отображение (состояние мозга->ощущение), то в каких единицах измерять правую часть (ощущение)?

Теперь собственно ощущения (некоторые свойства).

1. Зрение.
   • Вызывающие факторы. Свет попадает на сетчатку, которая в свою очередь состоит из большого количества рецепторов – палочек и колбочек. Концентрация колбочек увеличивается при приближении к центру сетчатки. Колбочки бывают 3 типов – наиболее чувствительные к электромагнитным волнам с длинами 430 нм, 530 нм и 560 нм соответственно (это не RGB!). Сетчатка преобразует световой сигнал в нервный импульс (химический процесс). После сетчатки импульс идёт в мозг, сначала в отделы, отвечающие за первичную обработку зрительного сигнала, а затем и в высшие корковые зоны и т.д. В процессе обработки изображения мозгом добавляется дополнительная информация (о глубине, отдельных объектах, границе, движении и т.п.).
   • Чем ближе к краю (т.е. чем больше угол между направлением глаза и направлением на предмет), тем картинка хуже осознаётся. Некоторые думают, что это из-за того, что концентрация рецепторов сетчатки тем меньше, чем ближе к краю, и что по краям находятся в-основном палочки (не колбочки), которые не воспринимают цвет. Но на самом деле это не единственная причина, потому что, например, когда человек видит картину, которая расплывается ближе к краю, и при приближении к краю становится чёрно-белой, то ощущение совсем не такое: человек может извлечь мало информации по краям, но он её, в принципе, осознаёт. А предметы, направление на которые далеко от направления, куда смотрит глаз, человек именно плохо осознаёт.
   • Чтобы получить целостное представление об объекте, нужно двигать глазом.
   • Человек не видит матрицу из точек. Матрица из точек (конечная, счётная, континуальная или ещё какая-нибудь) – это фантазии математически надрессированного человека. На самом деле человек видит целостное изображение, к которому в принципе не применимо понятие «мощности» (количества точек).
   • Цвет не представляется в виде комбинации красного, синего и зелёного. Каждый оттенок уникален. Видимо, можно составить некоторый базисный набор цветов, из которых потом можно более или менее выражать остальные оттенки, но этих цветов будет существенно больше трёх. Выбор такого набора (в том числе количества цветов в этом наборе) – вопрос спорный (ибо любой такой выбор – это прежде всего фантазия, которая ни к чему не привязана).
   • Чёрный цвет не является отсутствием цвета.
   • Воспринимаемая человеком зрительная реальность, вообще говоря, не имеет размерности. Приписывание размерности 2 (или 3, кому как нравится) – это фантазии математически надрессированного человека (хотя эти фантазии тоже имеют место быть как субъективные ощущения).
   • Движение не воспринимается как смена кадров (в том числе непрерывная, т.е. в каждый момент времени свой кадр). Ощущение движения – это особое чувство.
   • Интенсивность переживания (в том числе яркость, составляющая цвета, составляющая положения), вообще говоря, не является числом. Например, фраза «это видение в 2 раза интенсивнее, чем то, что я видел вчера», вообще говоря, бессмысленна. Числами можно измерять только факторы, вызывающие ощущения (напряжённость поля, возбуждённость нейрона и т.д.).
   • Если воспринимать визуальное ощущение как картинку, то не понятно, какую форму имеет её граница (прямоугольник, эллипс или бесконечная плоскость с размытым пятном-изображением в центре?)
2. Слух.На примере слуха наиболее ясно (гораздо более ясно, чем на примере зрения) видны следующие особенности ощущений:
   • Интенсивность ощущения (например, громкость чистого тона определённой частоты) не выражается числом (т.е. сопоставлять числа уровням интенсивности можно произвольным способом, и среди этих способов нет такого, который был бы чем-то лучше других). Описывать интенсивность только лишь порядком (т.е. указанием, какой уровень более интенсивный, а какой – менее) – тоже не дело, ведь интенсивность у ощущений совершенно конкретная.
   • Комбинация «базисных» ощущений может не иметь ничего общего с самими базисными ощущениями.
   • Классификация ощущений, сопоставление им математических объектов – это всё фантазии человека, не имеющие под собой никакой основы.

   Теперь собственно про слух.

   • Вызывающие факторы. Звуковые волны попадают в улитку уха, в которой раскладываются на частотные составляющие (способом, похожим на резонанс) и частично обрабатываются. Сигнал по слуховому нерву идёт в височную долю коры больших полушарий. Воспринимается как частотная информация, так и связанная с формой волны (на низких частотах). Воспринимаются частоты от 20Гц до 20кГц (обычно).
   • Волну синусоидальной формы мы воспринимаем как как-бы чистый тон (кроме очень низких и очень высоких тонов). Однако, комбинация синусоидальных волн не воспринимается как комбинация чистых тонов. Каждая такая комбинация воспринимается как уникальное ощущение.
   • Большое разнообразие звуковых ощущений: дребезжания, чавканья, чмоканья и т.д. Тяжело поддаются хоть какой-то классификации.
   • Изменение интенсивности волны во времени играет очень важную роль в формировании ощущения звука.
3. Осязание.
   • Связываются (в нашем сознании) с местами на теле, хотя эта связь устанавливается не всегда правильно.
   • Бывают разные: просто дотрагивание, тепло, холод, жжение, непонятный дискомфорт в этом месте и т.д.
   • К ним относятся также ощущения тяжёлой головы, ватности ног и т.п.
   • При хорошей фантазии можно представить себе, какие у нас были бы ощущения при другой форме тела (например, при наличии хвоста или третьей ноги), поэтому осязательные ощущения животных и людей другого пола нам вполне понятны (хотя и не известно, правильно ли мы их понимаем).
4. Обоняние, вкус.
   • Про вызывающий фактор вкуса вроде бы известно, что он описывается четырёхмерным вектором (хотя это, может быть, ложь).
   • Спектр вроде бы гораздо меньше, чем у слуховых ощущений, но та же особенность: совершенно не понятно, как их классифицировать.
   • За всю жизнь человеку обычно удаётся испытать далеко не весь спектр.
5. Чувство лица. Возникает (дополнительно к зрительному ощущению), когда смотришь на лицо человека. Это ощущение играет очень важную роль при идентификации людей. Лица людей, вызывающие одинаковое чувство лица, считаются похожими (даже если формально они совсем непохожи). Интересно тем, что существует много типов лиц (ощущений лица), которые не имеют ничего общего друг с другом (общего не больше, чем у зрения и слуха), при желании можно насчитать более 1000 таких независимых составляющих. Иногда возникает при смотрении на предметы (но обычно всё-таки при смотрении на людей или животных). Участок мозга, который отвечает за провоцирование этих чувств, легко перенастраивается. Например, личные вещи человека (и части тела, отличные от лица) после некоторого привыкания могут вызывать такое же чувство лица, как и сам человек, это же может относиться к окружающим человека предметам. Можно целенаправленно сопоставить чувства лица некоторым своим воображаемым образам, а также предметам (иногда это называют «одушевлением»). Многие слова языка у людей вызывают чувства лица (у всех людей соответствия разные). На примере чувства лица ясно видна особенность ощущений – их полная непередаваемость (трудно даже объяснить, что это такое). Бывает (но редко) такое, что одно и то же лицо с разным выражением вызывает разное чувство лица (иногда даже взгляда на лицо под другим углом достаточно, чтобы чувство стало другим). Чувство лица почти всегда «чистое» (т.е. невозможно даже помыслить, как его можно разложить на составляющие). Некоторые типы таких чувств возникают только как реакция на женские лица, некоторые – только на мужские, а некоторые – и на те, и на другие. Чувство лица способно сильно повлиять на восприятие человека, оно создаёт эмоциональный фон. Люди другой расы часто вызывают одно и тоже чувство лица (поэтому китайцы и негры все на одно лицо).
6. Приятно/не приятно.
   • Кажется, что можно описать одним числом (положительное – когда хорошо, отрицательное – когда плохо), на самом деле это не так.
   • Имеет несколько независимых составляющих. Например, ощущение тошноты и ощущение холода не имеют ничего общего, хотя оба неприятны, про два ощущения этих типов конкрентой интенсивности невозможно сказать, какое из них более неприятно.
   • Иногда мысленно привязываются к местам на теле, как и осязательные.
   • Человеку может быть одновременно и приятно, и неприятно (что ещё раз показывает, что теория с положительными и отрицательными числами неверна).
   • Как и для всех ощущений, не понятно, каким образом одной составляющей ставить в соответствие число.
   • На примере этих ощущений наиболее ясно видна следующая особенность: для описания интенсивности (даже одной составляющей) совершенно недостаточно только порядка (т.е. упорядочивания всех ощущений по интенсивности). Например, когда человек сходит с ума от пыток, для описания его страданий совершенно недостаточно указания, что это всего лишь «более неприятно, чем обычно».
7. Ощущение пространства. Особое ощущение, что тела имеют вполне определённые размеры, есть право, лево, верх, низ.
   Вообще говоря, в материи, если подумать, никакого пространства нет. Законы физики можно записать в любой системе координат (хоть сколь угодно искривлённой), от её выбора зависит только сложность формул. Однако, у нас каким-то образом появляется представление о каком-то КОНКРЕТНОМ пространстве, и мы это пространство совершенно конкретно ощущаем.
8. Ощущение времени, что время течёт с определённой скоростью. Опять же, время – это не просто упорядоченность событий. Его течение ощущается с вполне определённой скоростью (которая ещё и меняется), для которой, опять же, нет единицы измерения. Если человека долго и мучительно пытают, то для описания длительности его страданий явно недостаточно того, что «все моменты следовали в таком-то порядке». Особая составляющая – ощущение направления течения времени (если подумать, то мы могли бы ощущать смену событий и в обратном порядке, это ничем не хуже).
9. Ощущение скорости собственого перемещения в пространстве.
   • Возникает при появлении определенных зрительных, слуховых, осязательных сигналов, сигналов из вестибулярного аппарата.
   • Имеет как бы направление и интенсивность (которые могут не иметь ничего общего с числовыми параметрами).
   • И то, и другое не имеет единицы измерения.
   • Не выражается через чувство пространства и чувство времени.

Есть и много других чувств, которые мы здесь рассматривать не будем.

См. также:
Почему материализм так популярен?
Вымышленные сущности

Дальше речь пойдёт только о том, как из квантовой механики получается классическая. Формул много. Если кому-то лень разбираться в выкладках, он может прочитать конечные результаты в формулах, которые обведены в рамку.

Требуемые знания из математики и обозначения

Достаточно понимания перечисленных ниже фактов на физическом уровне строгости (на уровне «интеграл-это площадь, производная-скорость»). Вообще, при изучении физики крайне не рекомендуется использовать математический уровень строгости (потому что это требует много времени, а жизнь коротка :) ).

Суммирование:

Если вектор обозначается каким-то символом, то его компоненты автоматически обозначаются этим же символом с приписанным индексом, например:

Скалярное произведение векторов и :

Модуль вектора: .

Градиент функции векторного аргумента

Комплексно-сопряжённое число:

Экспонента комплексного числа:

Интеграл функции векторного аргумента по всему пространству:

(иногда вместо будет писаться просто ).

Интегрирование по частям: если стремится к нулю на бесконечности, то

Неравенство треугольника:

Теорема о диагональном преобладании: если , – вещественные функции, , , то

Интеграл Фурье: если

то

при выполнении некоторых условий на гладкость и её убывание на бесконечности (которые мы формулировать не будем, чтобы не загромождать текст). Замечание: очень хочется обойтись без Фурье, но, к сожалению, без него очень грустно.

Конкретные интегралы:
(гауссов интеграл),
(считается заменой переменных ),

(считается сведением к гамма-функции заменой , про которую легко ищется в интернете, либо выражением через интеграл и переходом к полярным координатам) и, как следствие,
(I0),
(I1),
(I2).

Изменение спектра Фурье при умножении на линейную функцию (LF): если


то

Преобразование Фурье гауссовой функции:
(F0).

Преобразование Фурье свёртки функций (CONV): если

то

Скалярное произведение преобразований Фурье (FPROD): если

то

Также будут использоваться некоторые интуитивно очевидные свойства интегралов, которые в явном виде формулироваться не будут (такие, как линейность интеграла, переход от двойного интеграла к повторному, замена переменной (для простых частных случаев), перенос дифференцирования под знак интеграла и т.д.).

Классический мультиверс

Теперь займемся объяснением того, как квантовая механика переходит в классическую на макромасштабах. Чтобы показать, что свойства квантового мультиверса близки к классическим, определим понятие классического мультиверса. Мультиверс описывается функцией плотности (не путать с матрицей плотности)

где – координаты всех частиц, – соответствующие им импульсы. По смыслу, – это плотность вероятности обнаружить мир в момент времени в состоянии с координатами и импульсами .
Функция плотности должна обладать следующим свойством: для любой функции , удовлетворяющей условию

где – массы частиц, – потенциальная энергия взаимодействия, значение интеграла

не зависит от времени. Поясним это. Здесь – это «пятно», все точки которого движутся по классическим траекториям:


т.е., на каждой такой траектории значение постоянно. Наше условие на можно трактовать так, что вероятностное распределение движется вместе с «пятном» (почему это выражает свойство классичности, оставим на размышление читателю). Для квантового мультиверса мы докажем, что производная достаточно мала по модулю, причём, она тем меньше, чем более размыта функция . Мы могли бы составить для дифференциальное уравнение и доказывать, что в квантовом случае оно «почти выполняется», но, к сожалению, в квантовом случае функция при малых изменениях аргументов ведёт себя настолько безобразно, что ни о каких дифференциальных уравнениях не может быть и речи (там сплошь и рядом получаются интерференционные минимумы и максимумы, между которыми расстояние очень маленькое, т.е., ими можно пренебречь, но на производные они влияют значительно).

Координатно-импульсное распределение в квантовой механике

Определим его как

где – параметр, связанный с точностью определения координат и импульсов (чем он больше, тем более точно определяется координата, и тем менее точно определяется импульс). В принципе, вместо функции в этом определении можно было бы взять и другую функцию, но эта очень удобна с вычислительной точки зрения и очень хорошо подходит по гладкости.

Отметим некоторые замечательные свойства этого распределения. Во-первых,

где

Во-вторых, пользуясь этим и свойством интеграла Фурье, можно получить, что
,
где – некоторая константа, т.е., вероятностное распределение вполне согласуется с изначальным определением мультиверса.

Замечание 1. Координатно-импульсное распределение – это искусственное построение, созданное для обоснования наблюдаемой классичности мира, не следует его рассматривать как какой-то фундаментальный физический принцип.

Замечание 2. Обратите внимание, что – это функция, принимающая вещественные значения. В некоторых книжках тоже вводятся похожие функции, которые тоже подчиняются уравнениям, похожим на уравнения классической (статистической) физики, но при этом у них эти функции комплекснозначные, то есть получаются комплексные вероятности. Указывая на это, авторы этих книжек как бы показывают особый мистический характер квантовой механики. Не стоит воспринимать это всерьёз.

Основные вопросы для рассмотрения

Итак, как уже упоминалось, волновая функция – это пятно, которое очень быстро расплывается в конфигурационном пространстве. Чтобы понять, откуда берётся классичность наблюдаемых явлений, нужно ответить на следующие вопросы:

1. Почему вообще нелокализованный волновой пакет (пятно) может иметь какие-то околоклассические свойства?

Для локализованных пакетов это хорошо описано в учебниках по квантовой механике, как правило, с пренебрежением эффектом размывания. Рассмотрение же поведения нелокализованных пакетов найти в учебниках крайне трудно (а оно вообще есть?).

2. Как объяснить отсутствие или малость шума от параллельных миров?

Расплывшееся пятно мультиверса – это вещь очень огромная. Если пятно расплывается по каждой координате с видимой глазом скоростью, а координат как минимум , то можно себе представить, каких размеров оно достигло за несколько миллиардов лет. Таких размеров объект неизбежно должен был бы шуметь, потому что каждая часть этого огромного пятна как-то воздействует на ту часть, что мы непосредственно наблюдаем. Это аналогично тому, что сумма случайных величин, равномерно распределённых от -1 до 1, имеет в среднем порядок (а вовсе не ноль), и если очень большое (а оно очень большое!), то и эта величина будет очень большой, даже, если отдельные слагаемые малы. Здесь даже больше важен не размер пятна, а его большая размерность, из-за которой
«количество» влияющих миров растёт очень быстро с расстоянием от рассматриваемого мира, а уровень влияния, возможно, убывает не очень быстро. Этот вопрос здесь будет рассмотрен для нашей простой модели, но читателю настоятельно рекомендуется рассмотреть этот вопрос для современных квантовомеханических теорий, например, разновидностей теории струн. Вполне возможно, что ответ на него окажется отрицательным (то есть, параллельные миры должны шуметь).

3. Как объяснить отсутствие макроскопических интерференций между мирами и других «нехороших» волновых явлений?

Как мы уже отмечали, при расплывании пятна отдельные его части вторично расплываются и
неизбежно должны взаимодействовать, в том числе с образованием интерференций, и они будут. Отсутствие таких эффектов на макромасштабах мы объясним лишь отчасти. Дело в том, что бывает два типа таких эффектов: «быстрые» – например, один конец пятна перекрылся с отражённым от чего-то другим концом, и в результате интерференции макроскопическая часть мультиверса исчезла, и «медленные» – небольшие НЕСЛУЧАЙНЫЕ отклонения на больших отрезках времени приводят к интересным эффектам, отличающимся от классических. Остутствие «быстрых» эффектов мы докажем, «медленных» – нет. Более того, утверждение об отсутствии медленных эффектов является ложным. Например, в реальности на волновую функцию накладываются требования симметрии, например, антисимметричности,
если мы имеем дело с тождественными фермионами:

Эти условия симметрии как раз создают эти самые неслучайные отклонения . Например, именно благодаря им образуются твёрдые тела и появляются некоторые термодинамические свойства или, например, связанные с электропроводностью. Поэтому условие отсутствия таких «медленных» эффектов должно быть переформулировано с учётом симметрий, что выходит сильно за рамки этой статьи. Вообще, здесь рекомендуется пользоваться идеей несовершенства мира: если , то при сложении, конечно, будут интерференционные эффекты, но в связи с некореллированностью фаз и очень быстрым их изменением при изменении координат, расстояния между интерференционными минимумами и максимумами будут очень маленькими, в связи с чем на макромасштабах ими можно пренебречь.

Оценка величин для типичного мультиверса

Напомню, что мы собираемся сравнить величины и и доказать, что последняя сравнительно невелика. Каждая из этих величин, как мы увидим позже, представляется в виде

где – непрерывная функция, удовлетворяющая условию

которая для каждой величины своя. Напомню, что в реальности мультиверс – это нечто очень большое по сравнению с той его частью, что мы собираемся анализировать, и всегда можно сконструировать его так, чтобы одна величина была очень большой, а вторая – нет, для этого нужно сделать, чтобы весь огромный мультиверс прицельно «бил» по той маленькой части, что мы исследуем, и создавал в ней нужные эффекты. Вообще, доказывать в квантовой механике что-либо для худшего случая – дело крайне неблагодарное, потому что худший случай очень плох. Чтобы избежать этой проблемы, мы будем рассматривать для величин среднее значение (среднеквадратичное, ибо нас интересуют отклонения величин от нуля, а не сами величины). Определить реалистичное вероятностное распределение на мультиверсах – задача
крайне непростая, поэтому мы сделаем такой трюк: сначала будем считать, что волновая функция – это конечномерный комплексный случайный вектор , распределённый равномерно по единичной сфере, – это матрица , получим формулу для среднеквадратичного значения величины и тупо перенесём её на непрерывный случай, заменив где нужно суммы на интегралы.

Итак, случайный комплексный вектор равномерно распределён по единичной комплексной сфере, это значит, что:

1. ( означает вероятность).
2. Вероятностное распределение не меняется при поворотах вектора, т.е.
   - 2A) при умножении любой компоненты на комплексное число с модулем 1;
   - 2B) при перестановке компонент вектора;
   - 2C) при замене и на и соответственно (другие повороты нам не нужны).

Комплексная матрица обладает свойством .

Имеем

( – матожидание). Ясно, что, чтобы слагаемое не было равно нулю, каждая переменная должна входить в него столько же раз, сколько ее сопряжение (это вытекает из пункта 2A определения равномерной распределённости на сфере). Из этого следует, что нужное матожидание равно

Чтобы это посчитать, нужно уметь считать

Для этого введем дополнительные переменные

Имеем

(первое равенство следует из пункта 2C определения равномерности распределения на сфере, второе получается аккуратным раскрытием скобок, приведением подобных и удалением слагаемых, в которых степень какой-либо переменной отличается от степени её сопряжения). Кроме того,

откуда находим

т.е., нужное матожидание равно

Перенося эту формулу на непрерывный случай, получим с точностью до константы

(диагональный член исчезнет).

В связи с этим для функций от двух векторных аргументов введём норму

которая будет оценивать среднеквадратичное значение величины

с точностью до константы.

Характеристики потенциальной энергии и шумы параллельных миров

Уровень шумов от параллельных миров зависит, вообще говоря, от функции . Эту функцию тоже (как и ) можно специально сконструировать так, чтобы большая часть мультиверса прицельно била в какой-то его небольшой участок, создавая странные эффекты. Чтобы как-то воспользоваться отсутствием такого целенаправленного конструирования в реальных случаях, введём характеристику этой функции , через которую потом будет оцениваться уровень шумов:

Смысл формул будет понятен позже из доказательства нужной оценки. Но уже сейчас можно заметить, что, если функция квадратичная, то первый множитель в формуле для будет модулем линейной функции (то есть модулем координаты, умноженным на константу, в другой системе координат), поэтому можно в явном виде посчитать эти интегралы, воспользовавшись формулой (I1) из списка в начале статьи:


(здесь означает производную по направлению ).

Более того, можно доказать, что формулы справедливы для любой функции (с некоторыми ограничениями на гладкость и поведение на бесконечности), если сделать предельный переход и (отношение точного и приближённого значений стремится к 1). Поскольку – величина как бы достаточно большая, а – маленькая, можно считать эти формулы неплохим приближением. Но здесь важно заметить, что большое значение и малость с лихвой компенсируется большой размерностью пространства , поэтому читателю настоятельно рекомендуется изучить поведение и для конкретных . В частности, читатель может увидеть, что при многих для некоторых будут получаться значения, значительно превышающие выписанные выше оценки через вторые производные, но в среднем отличие будет небольшим. Также читателю рекомендуется подумать, можно ли обобщить идею этих характеристик на более современные квантовомеханические теории.

Оценка классичности

В формулах для оценок будет использоваться Фурье-спектр :

Здесь s-это не индекс, а просто обозначение, указывающее на то, что это спектр (spectra).

Оценим сначала величину для «типичного мультиверса». Ясно, что

где

Для оценки нужно (как было замечено выше) оценить



где

Аккуратный подсчёт с использованием формул (I0) и (F0) даёт

Далее, применяем всё тот же (F0), а также (CONV) и (FPROD), получаем

Теперь займёмся оценкой . Поскольку

для вычисления сделаем следующее: вынесем дифференцирование под знак интеграла, применим формулу производной произведения, применим формулы для (см. раздел про классический мультиверс) и (уравнение Шрёдингера), применим интегрирование по частям с целью избавиться от производных по координатам, получим

где




Теперь заметим, что


и с использованием этого избавимся от производных по в формуле для в первых двух слагаемых под знаком суммы, два раза применив интегрирование по частям, получим

Чтобы оценить величину для типичного мультиверса, нам нужно вычислить и оценить

Для этого представим в виде суммы и воспользуемся неравенством треугольника

где

Начнём с . Для начала запишем в таком виде:


Для подсчёта сделаем замену переменных
,
:







где



Последнее неравенство следует из теоремы о диагональном преобладании (см. список фактов в начале текста). Таким образом,

Теперь вычислим (в отличие от , это будет точное вычисление, а не оценка). Для начала перепишем формулу для в виде


Далее, для подсчёта используем ту же самую замену , :


где



Этот интеграл нужно аккуратно посчитать с использованием (I0), (I2) и , получается

где


Имеем

применяя (CONV) и (FPROD), получаем

где

Применяя (F0) и (LF), находим :

Итого:

Всё. Осталось заметить, что оценкой величины у нас является

Что следует рассмотреть ещё?

1. Лучше рассмотреть «средний» случай (чтобы он стал ещё ближе к среднему и дальше от худшего), в том числе лучше определить понятие «типичный мультиверс». Исследовать, насколько грубой делают оценку заменение величин модулями и использование диагонального преобладания (см. вывод оценки для ).
2. Рассмотреть, что в реальности может быть в худшем случае (макроскопические квантовые эффекты).
3. Лучше описать особенности потенциальной энергии U и использовать это в оценке.
4. Рассмотреть, что дают симметрии волновой функции (тождественность частиц), создающие «неслучайные» отклонения от классики (твёрдые тела, молекулы, атомы и т.п.).
5. Сформулировать, что значит «малость шумов от параллельных миров» без использования искусственных построений типа координатно-импульсного распределения.
6. Почему паразитное влияние параллельных миров не портит термодинамические свойства?
7. Почему паразитное влияние параллельных миров не портит результаты экспериментов, в которых в чистом виде проявляется квантовая механика, например, эксперименты на ускорителях?
8. Рассмотреть, что происходит при переходе к квантовой теории поля.
9. Что было бы, если бы в уравнении эволюции волновой функции был небольшой нелинейный член?

Любая сложная задача имеет простое, всем понятное неправильное решение.

Этот креатив предназначается для тех, кто хочет быстро разобраться в том, что из себя представляет квантовая механика, как она описывает окружающий мир. По поводу квантовой механики у учёных есть разногласия, в том числе в том, может ли она вообще описывать окружающий мир, поэтому изучать её по учебникам довольно сложно: в учебниках, как правило, описан формализм, его «вывод» (если это безобразие можно так назвать), разобрано несколько очень частных случаев применения формализма с кучей пренебрежений и упрощений, и всё остальное место занято математическими методами. Вопрос же о том, как из этого «формализма» может получиться нечто похожее на реальный мир, который мы наблюдаем, рассматривается очень плохо. Если человек по каким-то причинам решил изучить квантовую механику (например, для общего образования), он столкнётся со следующими проблемами:

1. Материал учебника требует кучу предварительных знаний, как математических, так и физических.
2. Учебник огромен и читается очень медленно по причине большого количества сложных математических выкладок.
3. Даже, если человек осилил учебник (потратив год или больше), у него может остаться непонимание («а о чём это вообще?», «где здесь картина мира?»), квантовая механика будет ему казаться набором эвристических правил, которые работают в некоторых частных случаях.

Прочтение этого креатива позволит читателю перейти по отношению к квантовой механике из состояния «что за неведомая хрень?» в состояние «в целом осознаю и могу изучать дальше с чувством понимания». При этом от читателя требуется только знание школьной программы по математике и самое базовое представление о классической механике, правда, нужно будет самостоятельно изучить некоторые математические факты хотя бы на физическом уровне строгости (см. начало второй части), например, по википедиям. Этот креатив можно было бы назвать «квантовая механика для чайников», но для чайников с развитым математическим мышлением. Придётся немало потрудиться, в этом креативе много формул, читателю желательно не только их формально проверять, но и пытаться воспринимать идеи, которые в них заложены, пытаться их улучшать и обобщать. Вообще, квантовую механику невозможно объяснить без формул. Если кто-то пытается это сделать, то он банально вешает лапшу на уши. Но, в любом случае, проще изучить 10 страниц, насыщенных формулами, потратить на это, скажем, две недели, и поиметь понимание сути, чем изучить столь же насыщенные 1000 страниц, потратить год или больше, и нихрена не понять.

Надо помнить, что квантовая механика – это не конкретная теория. Это – некоторая база, на которой строятся разные теории. Здесь мы будем делать наше рассмотрение на примере одной конкретной теории – нерелятивистской Шрёдингеровской механики. Даже сама эта теория не является полностью фиксированной: мы можем произвольным образом задать потенциальную энергию взаимодействия как функцию координат частиц (да и по поводу того, что делать с получившимся результатом, существует много разных мнений, но мы рассмотрим здесь один конкретный самый тупой подход).

Физики по своему отношению к квантовой механике делятся на два типа:

1. Те, кто думает, что в рамках квантовой механики в принципе возможно описание всего мира.
2. Те, кто так не думает.

Как обычно, у вторых нет какой-либо чёткой картины мира, поэтому они обычно молчат в тряпочку и мирно занимаются своим делом, первые же такую «картину» имеют, поэтому не прочь её активно пропагандировать, бессовестно дезинформируя население.

Здесь мы будем пытаться встать в позицию первых и разобраться, почему они так думают. Большинство физиков первого типа являются сторонниками так называемой многомировой (эвереттовской) интерпретации квантовой механики, поэтому именно с её точки зрения мы будем делать наше рассмотрение.

Конечно, основная проблема эвереттчины – это полное отсутствие научных оснований для неё, и полное противоречие элементарному здравому смыслу, поэтому сторонников этой теории трудно назвать учёными, это – говно, научные тролли, основная задача которых – впарить ложь максимальному количеству людей, да ещё так, чтобы они не смогли её опровергнуть. Это лирическое отступление.

При первом рассмотрении кажется, что многомировая теория противоречит всему, чему только можно, но если присмотреться более внимательно, то выяснится, что найти какие-либо проверяемые (передаваемые) противоречия крайне трудно, и основными подвисающими проблемами остаются только научность, здравый смысл и почему так происходит. Одна из задач креатива – помочь читателю понять, чему многомировая теория НЕ ПРОТИВОРЕЧИТ, чтобы читатель мог искать настоящие дыры в теории, а не заниматься ерундой, на которую уже давно придуманы отмазки.

Многомировая теория (интерпретация) не является единственным взглядом на квантовую механику, но она оптимальна с педагогической точки зрения. Можно сказать, что понимать квантовую механику – это значит понимать многомировую теорию. К тому же, она наиболее популярна среди «теоретиков всего». Конечно, никто не заставляет в неё верить, но ты можешь знать, что говорит многомировая теория о результате того или иного эксперимента, и пытаться придумать теорию, которая даёт те же предсказания, но уже не страдает подобным фантастическим дебилизмом. Это как стена, от которой можно оттолкнуться. Понимание многомировой интерпретации избавит тебя от многих вопросов, которые задают люди, изучающие квантовую механику по классическим учебникам (в которых, как правило, даётся копенгагенский подход).

Главный вопрос, связанный с квантовой механикой, на котором свет клином не сошёлся, – это как она переходит в классическую на макромасштабах, т.е., почему мы наблюдаем мир, подчиняющийся почти классическим законам. Именно этому вопросу посвящается бОльшая часть креатива, и именно про это ниже сформулирована и доказана теорема.

Кроме всего прочего, я хочу обратить внимание на многие тонкие моменты, связанные с многомировой интерпретацией и квантовой механикой вообще, которые многие не замечают, и которые показывают, что всё далеко не так просто, как кажется, и из которых, возможно, вылезут настоящие противоречия с реальностью, понятные даже троллям-формалистам.

Хотелось бы заметить, что квантовая механика с многомировой теорией – это вещь очень красивая, но читателю настоятельно рекомендуется не попадаться в плен этой красоты. Вовсе необязательно верить во всю эту хрень! Всегда нужно помнить, что, скорее всего, никакого макроскопического мультиверса в природе не существует. Многомировая теория настолько противоречит здравому смыслу, что нормальный человек станет её сторонником только тогда, когда у него не останется ни одной альтернативы, нынешняя же экспериментальная база оставляет кучу таких альтернатив. К сожалению, «ненормальных», таких, у которых желание сменить парадигму намного сильнее желания узнать истину, довольно много, и некоторые их них имеют очень высокий учёный статус. Хотелось бы порекомендовать читателю не поддаваться стадному инстинкту и влиянию авторитетов, как можно больше внимания уделять анализу существующей экспериментальной базы и вопросу о том, как из неё можно получить теорию, чему можно доверять, а чему – нет (это относится в том числе к таким фундаментальным вещам, как принцип относительности и закон сохранения энергии). Всегда нужно помнить, что основная задача физика – это описывать реальный мир, а не придумывать красивые теории, которые трудно опровергнуть.

Формулировка квантовой механики.

Считаем, что у нас есть n частиц с заданными массами. Тогда вселенная (мультиверс) полностью описывается функцией
,
где  - координаты k-ой частицы,  – время (всё вещественные числа). Функция принимает комплексные значения.

Для упрощения записи координаты всех частиц будем обозначать , где . Множество всех возможных векторов называется конфигурационным пространством. Через будем обозначать массу частицы, соответствующей -ой координате.

Эволюция волновой функции полностью описывается уравнением Шрёдингера:
,
здесь , Дж*с – приведённая постоянная Планка,  - потенциальная энергия взаимодействия частиц (которую нужно найти из классической физики, например, можно взять энергию кулоновского взаимодействия),  – мнимая единица :)

Теперь про физический смысл. Миром будем называть набор координат . Мультиверс в каждый момент времени нужно представлять как совокупность всех возможных миров, причём каждому миру соответствует плотность . Плотность имеет смысл, аналогичный количеству миров, т.е., если, например, A и B – два множества миров,
, ,
то в момент времени в множестве A в раз больше миров, чем в B. Иными словами, вероятность того, что «наш» мир лежит в A, ровно во столько раз больше, чем, что лежит в B. Вот и всё.

Некоторые пояснения.

Оказывается, что такая простая «теория всего» позволяет объяснить как знаменитые эксперименты, из которых родилась квантовая механика, такие, как, например, двухщелевой с электронами, так и наблюдаемую классичность вселенной.

Конечно, такая теория очень далека от реальности, потому что в ней нет даже полей, но её вполне достаточно для понимания основных идей квантовой механики и её перехода в классическую на макромасштабах. Более современные квантовомеханические теории устроены похожим образом: в них тоже есть комплекснозначная функция (только с другой областью определения), эта функция подчиняется уравнению с такой же левой частью, но другой правой (но справа тоже линейный оператор, применённый к ).

Куда делись скорости?

Мы привыкли, что в классической механике состояние системы – это не только координаты частиц, но и их скорости, а здесь почему-то только координаты. Дело тут вот в чём. То, что мы наблюдаем, записано у нас в виде состояния мозга, для описания которого вполне достаточно координат (по крайней мере, опровергнуть это будет очень сложно). Например, если мы видим движущийся объект, то мозг преобразует это движение в состояние нейронов, в котором движение уже не играет роли (просто статически записана информация «объект движется»). Конечно, можно было бы назвать миром что-то, содержащее как координаты, так и скорости, но здесь нужно было бы принять во внимание принцип неопределённости Гейзенберга, выбрать базис, обосновать, почему именно такой, а не другой, короче, куча геморроя, совершенно ненужного для понимания ключевых идей.

Почему мы не рассматриваем измерения других, отличных от координат, физических величин, таких, как скорости, угловые моменты?

Потому что любой такой величине в реальности должен соответствовать прибор, который её измеряет, и даёт о результате измерения знать сознанию наблюдателя, состояние которого зависит только от координат (как мы договорились). Измерение других величин (а также операторы, собственные значения и т.д.) нужны для практического использования, чтобы не рассматривать систему объект-прибор-сознание (и ещё желательно окружающую среду), а ограничиться чем-то более простым. Для «теории всего» это не нужно. Да и мы вообще не рассматриваем измерений, мы просто говорим, как нам трактовать волновую функцию.

Может ли мультиверс состоять из макроскопически различимых миров, которыми нельзя пренебречь?

Да, может. Более того, состоит. Всегда. И это гораздо более масштабно, чем может показаться! Любые квантовомеханические эксперименты, в которых появляются вероятности, приводят к появлению таких суперпозиций миров. Например, знаменитый «кот Шрёдингера» реально (с точки зрения многомировой теории, естественно) находится в суперпозиции живого и мёртвого состояния, как и наблюдатель находится в суперпозиции «вижу живого кота» и «вижу мёртвого кота», причём эти суперпозиции никуда не исчезают, а продолжают жить своей жизнью. И если кто-то другой, даже инопланетяне, ставят подобный эксперимент, то происходит образование таких вот суперпозиций различимых миров.

Но и это не самое главное. Дело в том, что волновая функция непрерывно расплывается, причём делает это она очень быстро, и везде (НАПОМИНАЮ, ЧТО ЭТА «РЕАЛЬНОСТЬ» – ТОЛЬКО С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МНОГОМИРОВОЙ ТЕОРИИ). Макроскопические параметры, такие, как положения и форма тел, «расплываются» не так быстро, но тоже вполне ощутимо, особенно это хорошо проявляется, по-видимому, в различных макроскопических свойствах газов и жидкостей, формах разных облаков, положении вихрей, воздействии газов на тела и так далее. То, есть, если в течение суток образовалась суперпозиция человека и его же, отстоящего на метр, с приличной вероятностью, это вполне нормально, для этого не нужны никакие специальные «квантовомеханические» эксперименты. Если в какой-то момент времени волновая функция была хорошо локализованным пятном, то со временем пятно будет расплываться, и становиться огромным, ведь уравнение Шрёдингера не даёт никакого механизма схлопывания такого пятна (и сейчас оно огромно, потому что вселенная существует давно :) ). Более того, разные части пятна будут вторично расплываться, и, тем самым, взаимодействовать друг с другом, создавая интерференции и т.п. Объяснить, почему мы не наблюдаем таких интерференций и прочих продуктов этого взаимодействия, да и вообще, почему, вопреки всему безобразию, мы наблюдаем почти классическую эволюцию мира – довольно непростая задача (и в учебниках этого обычно нет), об этом будет сказано ниже (и теорема будет доказана).

Рассмотрим иллюстрацию (анимированный gif).

Здесь изображено поведение волновой функции. Линии – изолинии потенциальной энергии. Яркость – это модуль, цвет – фаза (красный – от 0 до пи, зелёный – остальное). Вначале в.ф. была почти классическим локализованным волновым пакетом, скорость «закодирована» в нём градиентом фазы (то есть, чем меньше длина волны, тем выше скорость). Потом пакет начал расплываться, и через некоторое время интерферировать сам с собой (можно заметить интерференционные полосы). Каждая точка здесь – это мир. Конечно, здесь у нас всего две координаты , в реальности должно быть как минимум порядка , но основные идеи понять можно, нечто подобное будет происходить и с волновой функцией настоящего мультиверса.

Для сравнения, вот иллюстрация для аналогичного классического объекта:

Почему мы не наблюдаем суперпозиций живых и мёртвых котов и вообще суперпозиций макроскопически различимых состояний?

По определению. Потому что мы договорились, что всё, что мы наблюдаем, зависит только от классического состояния, то есть, координат . Но в разных мирах находятся разные копии нас, которые могут наблюдать разные вещи, например, в одном мире мы видим живого кота, а в другом другая копия нас – мёртвого.

Почему от учёных иногда доносятся заявления о том, что они наблюдали суперпозиционные состояния, например, электрон, проходящий одновременно через две щели?

Они их не наблюдали, они по косвенным признакам сделали вывод о существовании таких состояний, например, в случае с электронами в щелях, по интерференционной картине в распределении вероятностей попадания электронов в разные места детектора.

Почему мы не наблюдаем скачков сознания между далеко стоящими макроскопически различимыми мирами?

Ответ очень прост: потому что всё, что мы наблюдаем и когда-либо наблюдали, записано в виде состояния мозга (т.е., координат его частиц) в ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ. А там нет никакой информации о таких скачках. Более того, вопрос о том, наблюдаем мы их или нет, не имеет смысла. Даже, если мы их наблюдаем, то ничего о них не помним.

Есть ли у объектов траектории, хотя бы приблизительные?

Нету. Волновая функция – это очень жирное движущееся пятно, в котором нельзя различить каких-либо траекторий, даже приблизительных. Всё, что мы знаем о траекториях объектов, записано в виде состояния мозга в ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, ничего другого нет. То есть, вопрос о том, что было у нас в прошлом, довольно бессмысленен, мы что-то помним и всё, больше ничего нет. Конечно, можно высосать из пальца какое-то вероятностное распределение на траекториях, и некоторые так делают, но надо всегда помнить, что это именно высасывание из пальца, в самой волновой функции такой информации нет.

Как появляются вероятности?

Допустим, что мы 1000000 раз поставили какой-то квантовомеханический эксперимент, в котором с вероятностью 1/2 выпадает либо 0, либо 1. Каждый такой эксперимент расщепляет мультиверс на две группы миров – в одной выпало 0, в другой 1, причём веса, соответствующие этим группам, равны. В итоге, после 1000000 экспериментов у нас мультиверс расщепился на групп миров, каждой соответствует свой набор исходов. Прямой подсчёт показывает, что в подавляющем бльшинстве миров количество выпавших нулей отличается от количества единиц не более, чем на 1%, поэтому с вероятностью, близкой к 1, мы попали именно в такой мир, где будет примерно равное количество исходов 0 или 1, то есть нам будет казаться, что результат получается случайно, и исходы 0 и 1 имеют равную вероятность. А философский вопрос о том, как вообще получается вероятностное распределение из модуля волновой функции, естественно, не имеет ответа.

Если наблюдаемые вероятности – вещь чисто субъективная, то как утверждения об их существовании попали в учебники?

Точно также: в подавляющем большинстве миров в учебниках будет содержаться правильная информация о вероятностях исходов квантовомеханических экспериментов, однако, будет небольшая доля миров, где такая информация будет ложной.

Как работает квантовая механика и многомировая интерпретация (на примере двухщелевого эксперимента, вкратце).

Пусть у нас есть летящая частица, попадающая на пластину из двух щелей, после которой стоит пластина-детектор частиц (который определяет, в какое место пластины попал электрон). Эксперименты говорят, что детектор всегда регистрирует одну частицу, попавшую в одну конкретную точку (корпускулярная природа), но распределение вероятностей попадания в разные точки имеет характерные интерференционные полосы (волновая природа). Эти полосы исчезают, если поставить пролётный детектор, который регистрирует, через какую щель пролетела частица.

Как объясняется этот эксперимент с точки зрения многомировой интерпретации?

Пусть – волновая функция, здесь – часть, соответствующая частице, а – детектору (а также смотрящему на него человеку и всему остальному, но всё это мы будем называть детектором). Пластину с щелями будем для простоты считать состоящей из бесконечно тяжёлых частиц, поэтому мы не будем их включать в модель, считая их просто добавкой к потенциальной энергии. Ещё, для простоты будем считать, что в начальные моменты (когда частица ещё далеко от детектора и с ним не взаимодействует): , при этом множители удовлетворяют уравнениям
,
,
где – масса летящей частицы, – потенциальная энергия детектора без учёта взаимодействия с летящей частицей, – потенциальная энергия взаимодействия летящей частицы и пластины с щелями. – это волновой пакет, который движется в сторону пластины с щелями и проходит её, при этом после прохождения в нём появляются интерференционные полосы (можно проверить решением соответствующего уравнения, для трёх переменных это ещё возможно). Назовём зоной детектирования область конфигурационного пространства, в которой находится достаточно близко к детектору, образованному точками , чтобы детектор начал срабатывание. Волновую функцию в нашем эксперименте можно представить как волновой пакет, который постепенно движется в сторону зоны детектирования. Зона детектирования устроена так, что она с огромной скоростью в некотором направлении выбрасывает всё, что в неё попадает (направление зависит от того, в какую точку зоны мы попали). Связано это с тем, что при попадании частицы на детектор возникает лавинообразный процесс, затрагивающий огромное количество частиц, которые существенно изменяют своё положение, в терминах конфигурационного пространства это означает очень быстрое перемещение, намного более быстрое, чем движение волнового пакета до детектирования. Направление этого выбрасывания очень сильно зависит от того, в какую точку зоны мы попали, хотя бы из-за того, что при попадании частицы в разные точки процесс детектирования происходит по-разному (и от исходного расположения частиц в детекторе это сильно зависит). Всё это означает, что, когда волновой пакет (который с интерференционными полосами) попадает в зону детектирования, он разлетается в разные стороны настолько, что точки, соответствующие не очень близким местам попадания частицы на детектор, можно считать практически невзаимодействующими эвереттовскими мирами (то есть, после детектирования между ними уже никаких интерференций не будет). В каждом таком мире детектор поймал электрон в какой-то конкретной точке, и вероятности будут вполне соответствовать (потому что разбрызгиватель-зона детектирования разбрасывает те миры, что в неё попадают, в том же «количестве»). Формулу для вероятностей здесь выводить не будем.

Почему при установлении пролётного детектора после одной из щелей интерференционная картина пропадает? Предположим теперь, что после одной из щелей стоит пролётный детектор, то есть такой детектор, который засекает прохождение частицы, но при этом даёт ей возможность лететь дальше, не поглощает её. Эксперимент показывает, что в этом случае интерференционная картина пропадает. Попытаемся дать этому объяснение. Для простоты не будем включать в картину основной детектор (который ловит частицы), вместо этого будем считать распределение вероятностей обнаружить частицу в точках пространства. При этом волновая функция у нас будет иметь вид , где – частичная часть, – пролётно-детекторная. Ещё для упрощения будем считать, что , где – то, что получается, если частица проходит через первую щель, а – только через вторую (на самом деле так делать нельзя, но для понимания идеи достаточно). Имеем плотность вероятности:


(звёздочкой обозначается комплексное сопряжение). Поскольку для разных щелей пролётный детектор срабатывает по-разному (причём макроскопически по-разному), выпуклости (в смысле, области, где модуль значения функции достаточно велик) волновых функций  и будут приходиться на разные , причём очень далёкие друг от друга. Иными словами, для каждых и одно из значений и  очень близко к нулю, следовательно, последнее слагаемое в формуле для вероятности – практически нуль. Вероятность равна сумме вероятностей для отдельных щелей. Этот процесс, в результате которого из-за квантового запутывания с окружающими объектами исчезает интерференционная картина, называется декогеренцией.

Продолжение про наблюдаемую классичность с формулами здесь

Если первая теорема Гёделя — это почти в чистом виде утверждение об алгоритмической неразрешимости, то вторая — это нечто более связанное с теорией доказательств, поэтому у многих может возникнуть впечатление, что, чтобы в ней разобраться, нужно предварительно осилить толстый и пугающий учебник по матлогике с огромными формализмами. Я же хочу убедить читателя, что это вовсе необязательно, здесь тоже вполне достаточно начальных знаний теории алгоритмов (основы теории алгоритмов можно изучить очень быстро, в отличие от логических формализмов). В этом тексте представлено чисто теоретико-алгоритмическое простое доказательство второй теоремы Гёделя, которое достаточно интуитивно понятно и не выглядит как логический фокус. Знание о первой теореме Гёделя не обязательно (она является частным случаем второй, поэтому представленное ниже доказательство можно применить и к ней).

Краткий исторический экскурс

Примерно на границе между 19 и 20 веками Гильберт и другие математики захотели формализовать всю математику, т.е., создать такую формальную систему, с помощью которой можно было бы доказать или опровергнуть любое математическое утверждение. В начале 1930-х годов Курт Гёдель своей теоремой о неполноте доказал, что это невозможно, причём даже для арифметических утверждений (см. ниже). Причём это было сделано не для каких-то там высосанных из пальца классов формальных систем, а для произвольных алгоритмов, перечисляющих теоремы: не существует алгоритма, перечисляющего все истинные арифметические утверждения.

В программу Гильберта входила задача не только создать полную формализацию математики, но и доказать её непротиворечивость внутри самой этой формализации, а, ещё лучше, используя только совсем очевидные «финитные» (комбинаторные) средства. Даже, если известно, что полной формализации быть не может, задача доказательства непротиворечивости продолжает быть актуальной по следующим причинам:
1) Хотелось бы доказать непротиворечивость для известных теорий множеств (парадокс Рассела и другие многих напугали).
2) Хотелось бы формализовать возможности человеческого мышления по части доказательства математических теорем.

Но Гёдель и здесь показал невозможность, доказав свою теорему о недоказуемости непротиворечивости (вторую теорему о неполноте). Таким образом, чтобы доказать непротиворечивость теории множеств, нужно выйти за рамки этой теории множеств (и уж, тем более, элементарной комбинаторики), а возможности человеческого мышления мы не сможем формализовать, потому что, если бы мы их формализовали, то их «непротиворечивость» оказалась бы вне формализма, но мы как-то до неё додумались (противоречие).

Формулировка теоремы

Итак, теорема: если перечислимая арифметическая теория непротиворечива, замкнута относительно правил вывода логики первого порядка (исчисления предикатов) и содержит арифметику Пеано, то в ней нельзя доказать утверждение о её непротиворечивости.

Используемые термины и некоторые замечания

Теория – множество строк (они называются теоремами, или доказуемыми утверждениями).

Перечислимая теория — для которой существует множество пар строк (A,B), такое, что:
1) A – теорема T <=> существует B, для которого (A,B) лежит в множестве;
2) существует алгоритм, который для каждой пары (A,B) проверяет, лежит ли она в множестве.
Здесь B можно назвать доказательством A, алгоритм из пункта 2 – проверяющий доказательства. Обращаю внимание: НАС НЕ ВОЛНУЕТ СТРУКТУРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, СРЕДСТВА, КОТОРЫЕ ОНО ИСПОЛЬЗУЕТ, ДЛЯ НАС ВАЖНА ТОЛЬКО ВОЗМОЖНОСТЬ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ.

Непротиворечивая теория — в которой нельзя одновременно доказать какое-то утверждение и его отрицание.

Арифметическая теория – теория, состоящая только из арифметических формул, т.е., формул первого порядка с операциями , , предикатом , константой . Пример формулы:

Здесь по смыслу подразумевается, что переменные под кванторами пробегают значения из , для определения это не нужно, но нужно для понимания, что значит «записать такое-то утверждение арифметической формулой». Почему имеено такой язык? Дело в том, что он, во-первых, достаточно простой, а, во-вторых, хорошо известны способы перевода в этот язык различных утверждений о дискретных объектах, например, об алгоритмах, кодах, формулах, доказательствах и так далее. Использование имеено этого языка в формулировках теорем типа Гёделя сложилось исторически. Более точное определение этого языка можно найти в интернете, здесь оно не приводится, потому что не играет особой роли. При желании читатель может придумать и использовать какой-нибудь свой язык.

Теперь про запись утверждения о непротиворечивости арифметической формулой. Во-первых, заметим, что утверждение о непротиворечивости ПЕРЕЧИСЛИМОЙ теории относится не к самой теории, а к алгоритму, проверяющему доказательства (см. определение перечислимости), хотя явно мы это говорить не будем (так звучит лучше :) ). Иными словами, если для одной и той же теории мы придумаем несколько «перечисляющих» алгоритмов, то и формулировка утверждения о непротиворечивости будет для каждого своя. Во-вторых, способ формулирования утверждения о непротиворечивости для «перечисляющего» алгоритма ОБЯЗАН БЫТЬ ФИКСИРОВАН, и формулировка теоремы Гёделя будет относиться именно к этому фиксированному способу, потому что сама по себе фраза «формула утверждает о непротиворечивости чего-то» не имеет никакого математического смысла. Здесь мы не будем описывать этот способ записи, потому что, как правило, ПРИДУМАННЫЕ ЧЕЛОВЕКОМ способы оказываются эквивалентными, т.е., эквивалентность полученных разными способами формул можно доказать, например, в арифметике Пеано (если, конечно, человек не ставил цель сделать, чтобы это было не так). Иными словами, читатель может сам придумать какой-нибудь способ, и, каким именно он будет, большой роли не играет.

Теперь о формальной доказуемости.

Замкнутость теории относительно правил вывода первого порядка означает, что, применяя правила вывода и аксиомы логики первого порядка к теоремам теории , мы не можем получить что-либо, не лежащее в . По смыслу, это означает, что в теории вместе с утверждениями содержатся все их элементарные логические следствия. Что это за правила вывода, можно найти в интернете, здесь формулировка не даётся, потому что большой роли это не играет, читатель может придумать свои правила для того языка, который он использует, главное, чтобы они позволяли выводить то, что нужно для доказательства теоремы Гёделя.

Ещё мы используем арифметику Пеано, которая есть набор аксиом (легко находимый в интернете, должно быть порядка 8 аксиом+схема индукции), позволяющий доказывать элементарные утверждения об алгоритмах, кодах, числах, текстах и так далее (с оговорками, сделанными выше, о записи утверждений). Опять же, выбор именно этой аксиоматики сложился исторически, потому что она достаточно сильная и одновременно простая, хотя и крайне неудобная для написания доказательств. Повторюсь, что читатель может использовать свои аксиомы, лишь бы они позволяли делать то, что надо делать.

Доказательство теоремы

Поскольку эта теорема является утверждением об алгоритмах, нам не обойтись без теоретико-алгоритмических построений. Будем рассматривать вычислимые функции (на множестве целых неотрицательных чисел), принимающие 2 значения: (определена, т.е. вычисляющий алгоритм останавливается) и (не определена, т.е. вычисляющий алгоритм не останавливается за конечное время). Алгоритмы будем кодировать целыми неотрицательными числами некоторым естественным образом (так, чтобы некоторые свойства этой кодировки можно было доказать в арифметике Пеано). Если особо не мудрствовать при выборе кодировки, то функция , равная значению функции, вычисляемой -ым алгоритмом на входе , будет вычислима. В этом вопросе поверим на слово программистам: они написали много самых разнообразных интерпретаторов – программ, способных исполнить любую другую программу.

Про алгоритмы, универсальные функции и т.п. лучше всего посмотреть в книге Верещагина и Шеня «Вычислимые функции».

Мы будем использовать следующее эквивалентное определение непротиворечивости : для любого алгоритма , если можно доказать в , что он не останавливается, то он на самом деле не останавливается. Действительно, если алгоритм останавливается, то можно доказать в , что он останавливается (привести протокол его работы в качестве доказательства), следовательно, если теория непротиворечива, нельзя доказать в , что не останавливается. И наоборот: если противоречива, то в ней доказуемы все утверждения, в том числе неостанавливаемость какого-нибудь алгоритма, который на самом деле останавливается. Проведенные рассуждения можно формализовать в арифметике Пеано.

Посмотрим на функцию  с точки зрения теории , для чего введём функцию следующим образом:

• , если .

• (Знаю, что Неопределена), если , и в можно доказать, что .

• (Не определена, но Не знаю), если , но доказать это в нельзя.

Итак, ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ:

• Понять, что можно конструктивно указать пару , для которой (с помощью вычислимого варианта диагонали Кантора, применённого к ).

• Понять, что если бы в  можно было доказать её непротиворечивость, то можно было бы и доказать для найденной пары, что , что противоречило бы тому, что .

Пример функции U(n,x). По диагонали f(x).

Пример функции U_T(n,x)

Теперь об этом подробнее. Пусть . Определим вычислимую «почти диагональ Кантора» через алгоритм:

• Параллельно запускаем вычисление  и перебор доказательств в , что .

• Если алгоритм, вычисляющий , остановился, то выдаём (т.е., запускаем бесконечный цикл).

• Если найдено доказательство, то выдаём  (т.е., останавливаемся).

Воспользуемся «диагонально-Канторовскими» соображениями для нахождения точки . Пусть – номер алгоритма, вычисляющего , т.е. . Нетрудно заметить из определения , что, если равно или , то (ЗДЕСЬ ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО, ГДЕ МЫ ПОЛЬЗУЕМСЯ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬЮ : из доказуемости в утверждения следует его истинность), откуда вытекает, что .

Проведённые выше рассуждения делались в предположении непротиворечивости . Осталось только заметить, что, если бы в можно было доказать её непротиворечивость, то можно было бы формализовать все эти рассуждения в без всяких предположений, т.е., доказать в , что , из чего сразу будет следовать , что противоречит определению (ведь мы ДОКАЗАЛИ прямо в , что ). Теорема доказана.

Рекомендуется почитать

1. Верещагин, Шень «Вычислимые функции» – простое и понятное изложение основ теории алгоритмов.
2. Подниекс К.М. «Вокруг теоремы Гёделя» – достаточно понятное изложение теорем Гёделя, много интересных фактов.

Также крайне рекомендуется всё-таки разобраться в формализмах (логика первого порядка, выразимость в арифметике, доказательства в арифметике Пеано), чтобы не возникало всяких сомнений. В качестве начальной книги по этому вопросу можно порекомендовать тех же Верещагина и Шеня «Языки и исчисления».

См. также:
Мифы об основаниях математики
Высшие аксиомы бесконечности

Будем предполагать, что отвечает на вопрос НАСТОЯЩИЙ учёный, имеющий опубликованные работы на данную тему в авторитетных профильных журналах, учёную степень, преподающий в большом университете, либо кто-то очень близкий к этому (хороший студент профильного ВУЗа, например). Кто-то может подумать, что, если уж человек настолько проверенный, то он не может быть большим дезинформатором… Но как бы не так… Каждый учёный имеет узкую специализацию (и это хорошо, ибо в противном случае такой учёный ничего бы не успел сделать), что означает, что он может не только не шарить в соседних областях, но и не разбираться в тех местах своей области, которые не очень нужны непосредственно для его исследовательской деятельности. Например, специалист по теории струн может не понимать, каким образом из квантовой механики может получиться мир, похожий на реальный (хотя, если он думает, что полностью осознаёт, как работает теория струн, он обязан это понимать). Такое может быть, например, потому что его научная работа является всего лишь решением математической задачи, к которой предшествующие учёные свели исследование этой самой теории струн. Или, ещё хуже, этот ученый может думать, что понимает, а на самом деле быть в заблуждении, например, в его «понимание» могла закрасться арифметическая ошибка, которая меняет всё в корне, но которую носитель за всю свою жизнь так и не заметил, потому что ему не очень это и надо, или «понимание» может быть основано на утверждениях, которым носитель доверяет, но ни разу руки не доходили проверить, и которые на самом деле ложны (для физиков это вполне нормальное явление, в связи с особенностями преподавания им математики).

ИТАК, ПРИЗНАКИ ДЕЗИНФОРМАТОРА:
1. Высказывание негативных утверждений («это неверно», «ты не прав»), но невысказывание позитивных («верно так-то и так-то») или замена их отсылами к учебникам. Это означает, что автор высказывания боится облажаться. Доходит и до того, что высказывающийся говорит тебе, что ты не прав, но конкретное место неправоты указать боится (естественно, маскирует это под снисхождение). Такое поведение говорит о том, что отвечающий не больно-то разбирается в вопросе. Например, он может знать все формулы общей теории относительности, но бояться хоть чуть-чуть отступить от них или от используемой терминологии, т.е., не знает, что получится, если сделать этот шаг в сторону. Он может даже понимать ключевые идеи теории, но не представляет, что будет, если использовать другие идеи (можно ли прийти на их основе к той же самой теории, или немного другой, но с похожими следствиями). Основная отмазка таких «знатоков»: теория настолько сложна, что нельзя объяснить её в двух словах, а ты пока не понимаешь даже основ и терминологии, поэтому иди пока почитай учебник и не суйся с вопросами. Если человек реально разбирается, то он всегда сможет вкратце объяснить суть (пусть и с неточностями) или хотя бы наметить в общих чертах направление, куда двигаться, указать на конкретные ошибки, способы их разрешения и дать нужные ссылки на места в учебниках или статьях, где это объясняется более подробно.
2. Указание на то, что вопрошающий задал некорректный вопрос, без пояснений, в чём заключается некорректность и как можно было бы сформулировать корректно. Этот признак родственен предыдущему и означает, что отвечающий из-за своего неглубокого понимания (или негибкости мышления) настолько прилип к общепринятой терминологии, что любой шаг в сторону кажется для него чем-то очень пугающим.
3. Указание на то, кто-то совсем не разбирается в предметной области, когда он ещё написал только одно небольшое предложение. Это означает, что отвечающий увидел, что этот кто-то использует необщепринятую терминологию или пишет «не в ДУХЕ современных представлений» (только так можно распознать незнание по столь малому количеству поступившей информации). Это означает, что отвечающий (из-за низкого интеллектуального уровня) не представляет себе отступление от общепринятой терминологии или то, что могут быть истинными идеи, которые «не в духе».
4. Хамский тон («ещё один идиот», «иди читай учебники», «в топку» и т.д.). Это означает, что из-за низкого интеллектуального уровня отвечающий не способен понять состояние, в котором находится человек, ещё не получивший должного образования. Низкий интеллектуальный уровень говорит о том, что вряд ли стоит от этого человека ожидать каких-либо правдивых ответов на нетривиальные вопросы. В лучшем случае, такой человек может посоветовать литературу, но не исключено, что существуют и намного более быстрые способы познания мира, чем чтение литературы, посоветованной этим человеком. Кстати, ещё можно отметить, что грубость может говорить о (подсознательных) сомнениях в собственных знаниях и желании самого себя ещё раз в них убедить.
5. Насмешливый (снисходительный) тон. Полностью аналогично предыдущему пункту. Добавим ещё, что снисхождение – это обычно маска, за которой скрывается страх облажаться.
6. Эмоциональный ответ («ну вот ещё один припёрся»). Аналогично предыдущим двум пунктам.
7. Постоянные попытки обратить твоё внимание на парадоксальность чего-либо, на то, что многие вопросы являются некорректно поставленными, многих понятий просто не существует и т.п., при этом не давая разъяснений Означает, что отвечающий – психологический паразит, которому нужно посмотреть, как ты будешь корчиться (удивляться), таким образом он начинает чувствовать себя умнее. До правды такому человеку дела нет. «Хороший» человек всегда даёт пояснения по поводу используемой терминологии, даёт способы правильной формулировки вопросов, старается помочь приспособить интуицию к «парадоксам».
8. Придирки по мелочам. Они означают, что отвечающий из-за своего низкого интеллектуального уровня не может понять, что некоторые фразы, возможно, были сформулированы упрощённо (в связи с ограниченностью времени и терпения как писателя, так читателя), в некоторых автор намеренно не хотел касаться некоторых проблем (поэтому слегка приврал), где-то просто ошибся по невнимательности или из-за того, что уже забыл некоторые детали и т.д. Кроме того, повышенное внимание к мелочам означает пониженное к более общим вещам (которые гораздо важнее в нашем случае).
9. Указание на свой учёный статус, наличие больших научных достижений (даже намёками) и т.п. Означает, что человек не уверен в себе, но, тем не менее, не признаётся в этом и делает резкие заявления, либо самовлюблён, что исключает самокритичность и является почвой для заблуждений. Может и сказать что-то полезное, но на всякий случай лучше относиться к его высказываниям с осторожностью.
10. Высказывание, что какие-то законы мироздания уже точно известны. Означает, что отвечающий из-за низкого интеллектуального уровня не способен себе представить, каким образом эти законы могут быть нарушены. Признак сложен для применения, потому что не к любым законам его можно применять. Например, существование релятивистских эффектов или дифракции электронов уже точно известно, тут спорить бесполезно. Признак применяется к законам, имеющим всеобъемлющий характер, но не являющимся математическими, например, «уже точно известно, что устройство мира имеет вероятностную природу».
11. Снобизм, высокомерие. Аналогично предыдущему пункту: человек из-за низкого интеллектуального уровня не видит многих проблем в собственной картине мира.
12. У отвечающего очень широкий круг интересов (и в физике разбирается, и в математике, и в экономике, и в политике, и в спорте, и в истории, и в музыке, да ещё и вышивать умеет) Означает поверхностность знаний (конечно, бывают гении, но очень редко).

Теперь, в противоположность, ПРИЗНАКИ ХОРОШЕГО (ГОДНОГО) СПЕЦИАЛИСТА (предпочтительно, если они выполняются все вместе):
- Вежливый тон и уважение к задавшему вопрос.
- Ответ содержит как собственные мысли позитивного характера, так и ссылки на конкретные места в литературе (отвечающий готов нести ответственность за свои слова).
- Ответ не является компиляцией фрагментов учебников.
- Автор не боится использовать свою терминологию или обозначения.
- Понимание сложности проблемы, что означает отсутствие резких высказываний в духе «я всё знаю».
- Отсутствие признаков научного фрика.

См. также:
Тип людей: адекваты

Среди выдающихся учёных (например, нобелевских лауреатов) попадаются оба типа, видимо, потому что тип слабо влияет на способность вести исследования в узконаправленной области. Очень хотелось бы, чтобы люди второго типа более активно публиковались, в том числе и на глобальные темы, показывали бы спорность многих вопросов, недостаточность обоснования во многих теориях и т.п., хотя все мы прекрасно понимаем, что трудно писать о чём-то, когда понимаешь, что ничего не понимаешь.

См. также:
Две разновидности маразматиков

- Принцип относительности выполняется абсолютно точно.
- Закон сохранения энергии выполняется абсолютно точно.
- Закон сохранения импульса выполняется абсолютно точно.
- Симметрия пространства относительно поворотов и параллельных переносов выполняется абсолютно точно.
- Механическое устройство может обладать чувствами и самосознанием (благодаря своему особому сложному устройству).
- Естественный отбор способен создать существа, имеющие представление о бесконечностях (в том числе несчётных).
- «Бог играет в кости».
- Наше субъективное ощущение движения времени вперёд (а не назад) каким-то образом связано с возрастанием энтропии.
- Если создать из мозга две одинаковые копии, каждая из которых будет после этого жить своей жизнью, то сознание тоже будет существовать в двух независимых копиях (которые могут и не знать друг о друге), причём в момент создания сознание почувствует (субъективно) переход к каждой копии с некоторой вероятностью (и некоторые учёные утверждают, что нечто подобное происходит в реальности в каждый момент времени!).
- Никакого изменяющегося реального мира, похожего на то, что мы наблюдаем, не существует. Реально существует квантовая суперпозиция мира в различных состояниях, которую нельзя назвать локализованной вокруг какого-то одного классического состояния (например, утверждается, что мы реально имеем суперпозицию живых и мёртвых одних и тех же людей, причём обоими состояниями нельзя пренебречь, только они не знают друг о друге).
- Квантовое состояние (суперпозиция) устроена таким образом, по его эволюции во времени нельзя проследить что-то похожее на классические траектории объектов (даже, если не требовать абсолютной точности), т.е. такой информации в нём нет. Иными словами, кое-кто утверждает, что никаких классических траекторий нет, есть только память о них, записанная в виде состояния мозга в конкретный момент времени. Мы что-то помним, но говорить о том, что наша жизнь была такой-то и такой-то не имеет смысла. У нас нет прошлого!
- Всю жизнь просиживая задницу дома и в лаборатории, отвлекаясь только на конференции и общечеловеческие нужды, вполне возможно знать устройство ВСЕГО МИРА!

См. также:
Как воспитывать физика?
Две разновидности маразматиков
Почему материализм так популярен?

Высшие аксиомы бесконечности (ВАБ) – это аксиомы, утверждающие в некотором смысле о существовании множеств очень большой мощности. Можно образно сказать, что они соотносятся с обычными теоретико-множественными аксиомами так же, как аксиома бесконечности (существования множества натуральных чисел) соотносится с аксиомами арифметики Пеано. Эти аксиомы – это не просто взятые с потолка утверждения, а вполне разумные расширения теории множеств, позволяющие получать «правильные», «осмысленные» выводы.

Известно, что никакой абсолютной (максимальной) мощности множеств не существует (потому что для любого множества множество всех его подмножеств будет больше). Аналогично, не существует множества всех множеств.

Это означает, что понятие множества, вообще говоря, не является «само собой разумеющимся». Иными словами, что мы назовем множеством, то и будет им. Это же и относится к понятию мощности множества, т.е. вопрос о том, насколько большими бывают мощности множеств, вообще говоря, бессмысленен. Какие мощности мы придумаем, такие и будут, все зависит от нашей фантазии, от того, насколько «общо», «абстрактно» мы будем мыслить. Высшие аксиомы бесконечности как раз возникают от того, что математик помыслил очень «общо» и попытался это свое помысливание формализовать.

Примером ВАБ является утверждение о существовании строго недостижимого кардинала (IC – Inaccessible Cardinal), которое говорит, что существует кардинал A, обладающий следующими свойствами:
1) A несчётен.
2) Для любого B<A выполняется 2^B<A (здесь 2^B означает мощность множества всех подмножеств множества мощности B).
3) Множество мощности A не представляется в виде объединения меньшего A (по мощности) семейства множеств, каждое из которых по мощности меньше A.

Замечание. Несмотря на то, что придумывание новых мощностей – это процесс творческий, неформализуемый, он идет по строго определенному пути, т.е. он напоминает Платоновское припоминание сущностей из мира идей. Например, если мы придумали некоторый мир множеств, в котором нет континуума, то он весь состоит из множеств, меньших, чем континуум, т.е. в творческом процессе придумывания мощностей мы либо не дойдем до континуума, либо пройдем через него (обойти не получится). Однако, сам мир идей, если он есть, тоже можно рассматривать как некоторое множество, которого в этом мире идей нет, и нет множества такой мощности (если оно там есть, то есть и все его подмножества, которых, согласно теореме Кантора, больше, чем всего элементов в этом мире), т.е. процесс придумывания новых мощностей все-таки нельзя рассматривать как припоминание объектов из уже существующего мира. Вот такой вот парадокс мышления!

Высшие аксиомы бесконечности, как правило, независимы с аксиоматикой теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC) и используются для расширения этой аксиоматики. Эти абстракции настолько далеки от реального (физического) мира, что, казалось бы, не имеют никакого применения, а являются просто игрой ума. Но, на самом деле, их использование может диктоваться как раз практическими мотивами! В частности, они позволяют доказывать истинные арифметические утверждения, которые нельзя доказать в ZFC (примером такого утверждения является непротиворечивость ZFC). Например, не исключено, что многие известные проблемы теории сложности можно будет решить, используя подходящую ВАБ. Иными словами, вопрос о нужности/ненужности высших аксиом бесконечности для инженерии на данный момент открыт.

Математика – это такая наука, которая создавалась, чтобы можно было не думать. Всё было хорошо, пока Гёдель в 193? году не испортил всем малину. Поиск новых высших аксиом бесконечности как раз является способом, с помощью которого можно ПОДУМАТЬ и расширить класс утверждений, которые можно получать, не думая. Чтобы в этом деле не ошибаться, нужно достаточно долго и упорно «медитировать» над ВАБ, при этом понимание возникает только в кратковременные моменты озарения, всё остальное время мы можем только пользоваться результатом этого озарения (сформулированной аксиомой). В обычном состоянии сознания понимания быть не может, поэтому всегда остаётся какая-то доля сомнения в осмысленности всех этих построений.

В математической литературе ВАБ исследуются на предмет возможности вывода с их использованием каких-либо утверждений (например, континуум-гипотезы или её отрицания), при этом сами ВАБ рассматриваются как взятые с потолка гипотезы, вопрос об их осмысленности не рассматривается. Это и понятно, ведь «понимание» осмысленности для таких абстракций не передаётся от одного человека к другому в виде текста. С другой стороны, в виде текста можно передать некоторые наводящие соображения, которые позволят читателю самому дойти до смысла. Не думаю, что подобные «тексты» получат большое распространение, ведь достаточно одному математику публично облажаться с подобными рассуждениями, чтобы такой подход был признан сообществом бесперспективным (придумать противоречивую аксиоматику, например, подобно тому, как было в начале 20 века с парадоксом Рассела). Тем не менее, я хочу убедить читателя, что использование ВАБ – это вполне разумный, законный способ расширения теории множеств, к тому же, способный давать потрясающие результаты.

Некоторые характерные особенности ВАБ (общематематические, неформальные)

Просьба сильно всерьёз их не воспринимать :)
1) Понятие высшей аксиомы бесконечности неформализуемо, поэтому бесполезно для какой-то конкретной формулы спрашивать, является ли она ВАБ или нет.
2) Практически любая ВАБ позволяет вместе с ZFC легко доказать непротиворечивость ZFC (через прямое предъявление модели).
3) Практически для любой ВАБ легко доказывается её недоказуемость в ZFC (для этого достаточно только аксиом ZFC и утверждения об их непротиворечивости).
4) Неопровержимость ВАБ в ZFC, как правило, доказывается труднее, для этого нужны средства, выходящие за рамки данной конкретной ВАБ, и уж тем более ZFC.
5) ВАБ в объединении с ZFC, как правило, даёт возможность доказать непротиворечивость ZFC с более слабыми ВАБ.
6) Как следствие из предыдущего, добавление более сильной высшей аксиомы бесконечности, как правило, дает новые доказуемые истинные арифметические утверждения.
7) Как правило, чем больше кардинал, существование которого (в некотором смысле) утверждает аксиома, тем она сильнее (т.е. тем шире множество следующих из неё утверждений, в том числе арифметических).
8) Попытка сопоставить каждому утверждению (например, арифметическому) минимальный кардинал, утверждение о существовании которого нужно для разрешения (доказательства или опровержения) данного утверждения, обречена на провал. Причина этого в том, что сопоставление кардиналам утверждений об их существовании – это процесс творческий, неформализуемый (как и придумывание всё более и более больших кардиналов).
9) Возможно, что, подобрав подходящую высшую аксиому бесконечности, можно доказать или опровергнуть континуум-гипотезу (хотя это должно быть что-то очень грандиозное).
10) Не исключено, что с помощью подходящей высшей аксиомы бесконечности можно конструктивно доказать аксиому выбора (т.е., предъявить свойство, которому удовлетворяет ровно одна функция выбора для каждого множества, и доказать этот факт).
11) Не исключено, что истинность любого утверждения формальной арифметики можно установить, используя подходящую аксиому бесконечности.

Аксиома подстановки из ZFC основана на идее недостижимого кардинала!

Мало кто знает, что аксиоматика ZFC уже содержит одну высшую аксиому бесконечности – cхему аксиом подстановки (или схему преобразования, см. статью из википедии «аксиоматика теории множеств»).

Схема подстановки – это множество аксиом, по одной для каждой логической формулы Ф(x,y). Аксиома для формулы Ф выглядит следующим образом:
если для любого x существует и единственен y, такой, что Ф(x,y), то для любого множества A существует множество
B={y: существует x, принадлежащий A, для которого Ф(x,y)}.

По началу кажется, что в аксиоме нет ничего криминального – ну для каждого элемента x из A выбрали по соответствующему элементу y и собрали из них B, да и всё. Но, на самом деле, тот факт, что элементы y могут находиться «где угодно в универсуме», т.е., для них не указано какое-то множество, внутри которого они обязаны находиться, делает схему подстановки подозрительно похожей на неограниченную схему свёртывания Кантора-Фреге (которая приводит к противоречию).

Схема свёртывания представляет из себя множество аксиом вида
«существует A={x: Ф(x)}»,
по одной аксиоме для каждой логической формулы Ф. Например, если Ф – тождественная истина, то мы получили бы множество всего. В схеме подстановки мы как бы разрешаем выбрать для каждого элемента A по одному, удовлетворяющему некоторому свойству, и составить из них множество, но если бы мы разрешили взять не один, а сколько угодно элементов для каждого, то получили бы нечто очень похожее на схему свёртывания, и тоже приводящее к противоречию. Таким образом, возникает резонный вопрос: как наложенное ограничение (что можно брать только по одному элементу) защищает нас от противоречия? Этот вопрос далеко не праздный, и, чтобы на него ответить, нужно будет воспользоваться идеями, родственными идее недостижимого кардинала (он будет возникать при попытке как-то «конструктивно» описать универсум) .

Например, если множества представлять деревьями, и вселенную множеств считать состоящей из всех деревьев мощности меньшей, чем некоторая заданная, то для выполнения всех аксиом ZFC в этой вселенной, эта заданная мощность должна быть недостижимым кардиналом (на самом деле, можно и меньше, но, чтобы всё получилось естественным путём, нужна недостижимость), и основным препятствием для использования чего-то более маленького и простого будет как раз аксиома подстановки.

Ну ладно, если аксиома подстановки плохая, то что будет, если её убрать, заменив, например, некоторым набором более очевидных технических аксиом? Во-первых, сама теория сильно ослабнет, например, в такой теории нельзя будет даже доказать существование множества
.
Ослабнет она и в смысле множества всех арифметических утверждений, которые можно в ней доказать. Например, непротиворечивость ZFC без аксиомы подстановки можно доказать в ZFC, но нельзя без аксиомы подстановки.

Если очень хочется получать в теории без аксиомы подстановки «большие» кардиналы, можно добавить в неё несколько специальных аксиом для таких построений, например, можно разрешить трансфинитную рекурсию вида
.
Единственный недостаток такой аксиоматики будет в том, что она будет некрасивой, будет сразу виден способ её расширения. Вообще говоря, теорема Гёделя о недоказуемости непротиворечивости нам намекает, что любая вменяемая непротиворечивая теория является высосанной из пальца, но в случае ZFC это не так явно видно, как в нашем случае с отказом от аксиомы подстановки. Таким образом, аксиома подстановки даёт ZFC красоту, какую-то логическую завершённость, за которой стоит идея недостижимого кардинала.

В связи с этими наблюдениями кажется глупостью принимать ZFC и не принимать недостижимый кардинал. Ещё бОльшей глупостью кажется принятие, например, стандартной модели для ZFC, но категорическое непринятие недостижимого кардинала.

Построение недостижимого кардинала

Пусть есть некоторый набор множеств. Разрешим делать с ним две операции:
1) Если в наборе есть множество A, то можно добавить в него 2^A.
2) Если в наборе есть множество мощности K, то можно добавить в набор объединение любых не более K множеств из набора.

Тогда, если набор состоит изначально только из одного счётного множества, то, замкнув его относительно операций 1 и 2, мы получим набор, мощность которого есть недостижимый кардинал (мощность объединения всех множеств набора тоже будет недостижимой).

Основной вопрос к этому построению: как обосновать, что требуемое замыкание существует? Вопрос, естественно, далеко не праздный, потому что, если в определении операции 2 убрать требование, что объединять можно не более K множеств, то замыкание перестанет существовать (и это доказывается). Почему же это ограничение делает замыкание существующим?

Здесь можно дать такое объяснение. Когда ограничение есть, замыкание есть множество всех объектов, которые можно построить только из исходных с помощью некоторых заданных операций. В этом случае у нас всё строго определено (как можно строить объекты, а как нельзя), поэтому вполне разумно считать осмысленной такую вещь, как совокупность всех объектов, которые можно получить с помощью этих операций. Когда же мы снимаем ограничение на мощность объединения, мы разрешаем в качестве мощности объединения использовать что угодно (в том числе то, чего у нас нет), и у нас возникает проблема с тем, что нельзя разделить мощности на те, которые существует и на те, которые нет (придумывание мощностей – это чистая ничем не ограниченная свобода воли). В этом случае сам «граф» построения может быть каким угодно, и возникает та же проблема с недетерминированностью творческого акта. Что-то в этом объяснении есть, не так ли? Но не совсем убеждает, ведь так?

Тут есть один тонкий момент: несмотря на то, что мы при объединении используем только уже построенную мощность, мы можем как угодно выбирать объекты для объединения из вселенной (а вселенной у нас как таковой нет, ещё нет). Тут тоже возникает вопрос о корректности этого дела. Здесь, видимо, имеет смысл представить это не как выбор нужного числа объектов из вселенной, а как запуск нужное число раз процедуры построения, каждая из которых может быть какой угодно, но в чётких рамках правил. Но всё равно какое-то сомнение в корректности этой процедуры остаётся… И до конца текстом не убедить в корректности. Здесь читатель должен сам как следует поразмышлять над этим и убедиться, что так всё-таки делать можно. ДА, ЧЁРТ ВОЗЬМИ, МОЖНО!

Замечание: если что-то называется недостижимым, то это ещё не значит, что оно на самом деле совсем недостижимо.

Что там дальше, за недостижимым кардиналом?

Способов усиления аксиомы IC сколько угодно. Например, можно постулировать существование двух разных недостижимых кардиналов или бесконечного их числа. Можно постулировать, что для каждого кардинала есть недостижимый, который больше. Бывают ещё всякие гипер-недостижимые (hyper-inaccessible, см. англоязычную википедию). Каждое такое усиление будет реально давать что-то новое, в том числе для формальной арифметики, и осмысленность такой аксиомы будет обосновываться примерно так же, как и для IC. Но это всё – топтание на месте. Какое можно сделать существенное усиление?

Способы есть. Можно, например, заметить, что использование в определении недостижимости операции 2^A высосано из пальца. Иными словами, можно обобщить это для произвольной операции (вообще, это хороший способ строить ВАБ: выявлять, что высосано из пальца в уже существующих аксиомах, и пытаться это обобщать). Тогда у нас получается такая схема аксиом замыкания (по аксиоме для каждой логической формулы Ф(x,y)): если для любого x существует и единственен у, для которого Ф(x,y), то для любого множества A существует множество B, обладающее следующими свойствами:
1) A – подмножество B.
2) Если x принадлежит B и Ф(x,y), то y принадлежит B.
3) Если B содержит множество мощности K, то объединение любых не более K множеств из B лежит в B.

Если пытаться построить естественную модель для ZFC и аксиомы замыкания, то её мощность будет так называемым кардиналом Мало в честь математика P.Mahlo (хотя более правильно было бы называть такие кардиналы кардиналами Много или даже Очень Много).

Дадим определение кардинала Мало. Через C[<K] будем обозначать множество всех кардиналов, меньших K. Кардинал K0 называется кардиналом Мало, если:
1) Для любого K<K0 имеет место 2^K<K0.
2) Для любой функции F: C[<K0] -> C[<K0] существует ненулевой кардинал K<K0, такой, что:
— a) точная верхняя грань любого меньшего K семейства из кардиналов, меньших K, меньше K (иными словами, C[<K] замкнуто относительно супремума <K элементов);
— б) для любого K1<K выполнено F(K1)<K (иными словами, F(C[<K]) – подмножество C[<K]).

Отметим, что здесь не требуется несчётность K0, т.е., используя описанный способ «достижения кардиналов», можно достичь счётного из конечных.

Дадим эквивалентное определение. K0 есть кардинал Мало, если для любой функции F: C[<K0] -> C[<K0] существует недостижимый кардинал K<K0, для которого F(C[<K]) – подмножество C[<K].

Ещё одно эквивалентное определение есть в англоязычной википедии (оно сильно через задницу).

Можно сказать, что существование кардинала Мало соотностится с рассмотренной ранее аксиомой замыкания так же, как существование недостижимого кардинала соотносится с аксиомой (схемой) подстановки в ZFC. Аналогично, можно считать эти аксиомы основанными на одной идее.

Кому-то переход к кардиналу Мало покажется сильным скачком, но, например, с точки зрения возможности доказательства или опровержения континуум-гипотезы он не даёт ровным счётом ничего по сравнению с ZFC, даже все доказательства независимости переносятся практически без изменений. Иными словами, для решения континуум-проблемы нужно нечто намного более грандиозное. Кстати, это свойство отностится ко всем ВАБ: с одной стороны они кажутся чем-то радикальным, совершенно новым по сравнению с тем, что использовалось до этого, а с другой – топтанием на месте с лишь незначительными косметическими изменениями.

Долой недостижимость, или бесполезные аксиомы

Можно заметить, что все перечисленные выше аксиомы могут быть сформулированы в виде существования кардинала, в каком-то смысле недостижимого из меньших. Попытаемся придумать ВАБ совершенно иного типа.

Все вышеперечисленные аксиомы записываются в виде

где – кванторы, а – бескванторная формула. Иными словами, эти аксиомы записываются в виде «существует множество A, обладающее некоторым свойством», где свойство записывается в виде формулы, в которой подкванторные переменные пробегают подмножества A.

Описанное свойство замечательно тем, что для любого предъявленного придуманного (сотворённого свободной волей) множества A его можно проверить (потому что для проверки достаточно поработать только с подмножествами A, не лазя по всей вселенной, которая ещё не известно, какая). Это означает, что, в принципе, можно себе помыслить, что когда-нибудь мы найдём (придумаем) для каждой такой формулы по множеству A, либо установим, что такого множества быть не может. Для всех этих множеств для всех формул можно взять объединение.

Из этого рассуждения получается такая высшая аксиома бесконечности: существует такое множество M, что любая «хорошая» формула Ф(A) либо тождественно ложна, либо истинна на каком-нибудь подмножестве M. Это есть пример высшей аксиомы бесконечности, которая не является утверждением о недостижимости. Кому-то может показаться, что такая аксиома неизбежно даст противоречие, но, думаю, эти опасения не имеют оснований. В полезности такой аксиомы для чего-либо, конечно, я сильно сомневаюсь, но сам подход вполне может быть полезным.

UPD: эта «аксиома» доказуема в ZFC, что ещё раз подчёркивает её бесполезность :)

Что почитать?

Какого-либо последовательного учебника на эту тему найдено не было. Если кто-то порекомендует, буду очень признателен. Могу порекомендовать отдельные статьи, походить по ссылкам:
1) Англоязычная википедия, статьи «Inaccessible Cardinal», «Mahlo Cardinal», «Grothendieck universe», по ссылкам.
2) П. Дж. Коэн «Об основаниях теории множеств» – на эту тему немного, но полезно, иная точка зрения.
3) Курт Гёдель «О гипотезе континуума Кантора» – аналогично Коэну.
4) Akihiro Kanamori «The Higher Infinite» – разобрано много разных гипотез, всё, в-основном, рассматривается с точки зрения форсинга. В бесплатном доступе нет, желающему пошлю на мыло.
5) Harvey M. Friedman «Finite functions and the necessary use of large cardinals» и другие статьи этого автора, погулять по ссылкам. Якобы приводятся примеры разных красивых «комбинаторных» утверждений, требующих больших кардиналов для доказательства. Дальше введения не читал, поэтому точно сказать не могу.
6) Andrey Bovykin (Андрей Бовыкин) – разные статьи (на английском, несмотря на русское происхождение автора). Есть полезная информация и ссылки на эту тему.

См. также:
Теорема Гёделя о недоказуемости непротиворечивости
Мифы об основаниях математики
Вымышленные сущности
Логические парадоксы и биология

Ты будешь придумывать формальные отмазки от той работы, которую подсказывает тебе внутренний голос. Тебе будет казаться, что твоя логика безупречна, но интуиция будет чувствовать, что что-то не так. И внутренний голос это понимает и учитывает. Внутренний голос не заставляет тебя всё время его слушаться.

Внутренний голос не говорит тебе ничего нового, это всё ты прекрасно знаешь.

Внутренний голос никогда не будет торопить тебя, прекрасно понимая, что у тебя есть неограниченное время.

Внутренний голос никогда не будет пугать тебя адскими муками.

Внутренний голос никогда не будет говорить тебе, что тебе нужно стать адептом какой-то конкретной религии, совершить какой-то религиозный ритуал или самоубийство.

Внутренний голос никогда не будет осуждать тебя за твои действия (даже если ты предатель, конченный алкаш или серийный убийца), он прекрасно понимает, что вопрос о том, что лучше, а что хуже, очень спорный.

Внутренний голос может подсказать тебе твоё место в этом мире, каков может быть твой дальнейший путь в зависимости от твоих действий. Подсказка всегда происходит в виде сложного («квантового», «бесконечномерного») подсознательного образа, все попытки описать который приводят к абсурду. Этот образ не содержит вообще никакой информации о том, что лучше, а что хуже. Что лучше, а что хуже, ты решаешь сам, это полностью твой выбор.

Внутренний голос никогда в явном виде не скажет тебе, что такой-то путь более тяжёлый (или наоборот более лёгкий), чем другой, прекрасно понимая спорность и неочевидность этого вопроса. Он может показать только «квантовый» образ, оценивать на его основе «сложность пути» тебе придётся самостоятельно.

Внутренний голос никогда не даёт простых подсказок. Все подсказки будут сложны, до конца не осознаваемы и допускать неоднозначную трактовку.

Внутренний голос не похож на человека: он абсолютно терпелив и не обидчив.

Внутренний голос всегда любит тебя. Сила его любви не зависит от твоих действий. Даже если ты считаешь, что ты полностью облажался и потерпел крах перед своим внутренним голосом, он продолжает любить тебя. Гнев внутреннего голоса – это твои фантазии.

Внутренний голос всегда относится с уважением к твоему выбору.

Внутренний голос никогда не отвечает на философские вопросы и вопросы типа «зачем я должен делать то-то и то-то», прекрасно понимая твою неспособность понять на них ответы.

См. также:
Особенности земной жизни
В чём смысл жизни?

- Подкалывать и оскорблять оппонента вместо того, чтобы прямо сказать, в чём оппонент не прав и высказать своё (правильное) мнение по этому же вопросу.
- Активно высказывать (с красочными аргументированными обоснованиями) негативные утверждения (т.е. в чём неправ тот-то и тот-то), при этом вообще не высказывать позитивные (т.е. информацию о том, что нужно делать на самом деле).
- Высказывать своё мнение только в форме комментариев к чужому.
- Высказывать своё мнение в шуточной форме.
- Высказывать своё мнение в виде вопроса.
- Не высказывать своё мнение, если кажется, что с ним никто не будет согласен.
- Отсылать к матчасти, учебникам вместо того, чтобы объяснить своими словами, в чём дело (это обычно делается в снисходительном тоне, чтобы не дай бог не заподозрили, что человек на самом деле всего лишь боится).
- При аргументации использовать терминологию из своей узкоспециализированной области (чтобы никто не смог понять), при этом обвинять в необразованности в ответ на просьбы эту терминологию пояснить.
- Избегать ситуаций, в которых легко ошибиться/сделать глупость, даже если они не представляют никакой опасности.
- Не совершать действий с труднопредсказуемым результатом.
- Избегать ситуаций, в которых над тобой будут смеяться.
- Стараться кому-то угодить.
- Становиться суровым брутальным мужиком (или бабой).
- Скрывать свои слабости.
- Не принимать критику.
- Соглашаться с любой критикой.
- Делать вид, что тебе на всё пофиг.
- Избегать анализа собственного внутреннего мира, своих переживаний.
- Не считаться с правами существ, сильно отличающихся от себя любимого (людей, которые не нравятся, уродов, психически больных, умственно-отсталых, животных, растений). Более сильная форма: считать их не имеющими разума/ничего не чувствующими/не понимающими (чтобы одновременно и отгородиться от них, и не мучиться угрызениями совести).
- Приписывать людям негативные качества и считать, что они заслуживают той участи, которую получили.
- Не подавать просящим помощи.
- Строго следовать своим принципам и ни в коем случае от них не отступать.
- Манипулировать людьми.
- Учиться эффективным методам манипулирования людьми (и посещать соответствующие тренинги).
- Пилить (ебать в мозг, проедать плешь) ближнего своего.
- Употреблять психоактивные вещества (алкоголь).
- Строить математическую модель окружающего мира.
- Быть пессимистом.
- Верить в религию.
- Заниматься самоистязанием.
- Выражая свои истинные чувства, косить под наркомана/психа/придурка.
- Критиковать себя.
- Откровенно расхваливать себя.
- Молчать.
- Говорить без умолку.
- Организовывать свою жизнь так, чтобы все были тебе должны (т.е. активно оказывать услуги без какой-либо просьбы, дарить подарки, делать комплименты и так далее).
- Делать вид, что тебе лень (когда на самом деле тебе страшно).
- Не слушать попсу и делать вид, что она не нравится.
- Говорить, что не читал книги, которые на самом деле читал и с большим интересом.
- Скрывать факт общения с некоторыми людьми (именно общения, а не половой связи).
- Пользоваться словами не так, как хочется, а только в соответствии с их общепринятым смыслом.
- Избегать произнесения не имеющих смысла фраз, даже если они активно крутятся в голове.
- Не признаваться в совершении даже тех действий, которые совершают все.

См. также:
Как бороться с дерьмом?

Невозможно понять чей-то опыт, не имея аналогичного собственного. Молодые не обращают внимание на опыт старших и делают те же самые ошибки. Имея какое-то знание, трудно представить состояние тех, кто это знание не имеет (поэтому очень хорошие специалисты редко бывают хорошими преподавателями).

Состояние человека неустойчиво. Хорошо относятся к тем, кому хорошо. Тех, кому плохо, стараются избегать и недолюбливают, им становится от этого ещё хуже. Пример: получая психологическую травму, человек зарабатывает невроз, с ним становится тяжело общаться, ухудшается отношение людей к этому человеку, из-за этого невроз прогрессирует, и человеку становится ещё хуже.

В этой жизни душа человека ПОСТОЯННО находится в уродливом эмоциональном состоянии. С «неуродливым» состоянием это состояние соотносится примерно также, как состояние сильного сексуального возбуждения соотносится с обычным состоянием. Пример. В состоянии сексуального возбуждения человек, в принципе, может думать о смысле жизни, пытаться понять природу своего возбуждения, осознавать, что это всего лишь проявление инстинкта продолжения рода и т.п., но все подобные мысли в этом состоянии будут сексуально окрашены, поэтому толку от них будет немного («просветления» не произойдёт). Это же можно сказать о любом состоянии в этой жизни: все «философские» мысли будут окрашены давящими эмоциями этого мира, поэтому просветления от них не наступит. В этой жизни не должно быть просветления.

Свобода выбора очень ограничена (желания определяются эмоциональным состоянием, зависящим от мозга, программой подсознания и т.п.). Более того, здесь мы не можем понять степень этой ограниченности. Например, некоторым кажется, что они имеют полную свободу выбора своих действий, целей, мыслей, а некоторым кажется, что мир устроен детерминированно, а свобода выбора – это иллюзия.

Чтобы выживать, нужно убивать.

Возможно физическое принуждение.

Существует масса способов причинить вред другому человеку, не получив за это никакого наказания (вне зависимости от устройства общества и государственного строя).

Часто люди не понимают, что доставит им радость, а что нет, поэтому часто стремятся к тому, что впоследствии не принесёт им радости.

Невозможно разделить действия на хорошие и плохие, приписать каждому действию “уровень хорошести”. Примеры:
- Если хочешь выбрать себе “мораль”, нужно определиться с кругом друзей (жить только для себя, для себя и семьи, для себя и друзей, для своей страны, для всего человечества, для всех людей и животных и т.д.); оптимального выбора нет; если выбирать абсолютный вариант (друзья = все живые существа), то все действия станут эквивалентными друг другу.
- Кроме того, если ты хочешь выбрать мораль, то нужно определить: уровень радости, которую ты хочешь доставить тем существам, которых ты выбрал в качестве круга друзей, тип радости, продолжительность радости, время, за которое ты хочешь достичь своей цели, степень риска, которую ты допускаешь, допустимый уровень неприятностей и так далее. Опять же, оптимального варианта нет.
- Не известно, что будет после смерти. Не понятно, будет ли там компенсация за радости/страдания/причинение кому-то боли/доставление радости. Не понятно, нужно ли это учитывать при планировании своей жизни.
- Не понятно, насколько нужно стараться подавать хороший пример другим людям/не подавать дурной. Не понятно, насколько вообще собственный пример влияет на других людей.
- Не понятно, что лучше в каждом конкретном случае – следовать уже установленным правилам (традициям, закону) для определённости или пытаться сделать лучше, нарушая их.
- Не понятно, насколько нужно причинять боль в воспитательных целях / уничтожать “неисправимых”.
- Нужно ли учитывать интересы психически больных?
- Трудно выбрать, сколько усилий нужно тратить для достижения цели.
- Нужны ли человеку страдания? Нужно ли заниматься самоистязанием?
- Нужно ли намеренно причинять страдания другим, чтобы способствовать их духовному развитию?
- Нужно ли вообще задумываться, как нужно жить?
- и т.д.

Если человек начинает задумываться о том, какие неприятности он доставляет окружающим, и пытаться эти неприятности минимизировать, то у этого человека по началу возникает много внутренних противоречий, делающих его уязвимым (обычно это приводит к отказу от такого пути).

Жизненные цели не только трудно достигать, но и трудно чётко формулировать (за исключением случаев, когда цель уже была сформулирована другими). Чётко сформулированные цели, как правило, либо являются шаблонами, созданными другими, либо очень неточно отражают желание человека (что заставляет его через некоторое время переключиться на другую цель).

Человек, не испытывавший страданий в достаточном объёме, не может понимать страдания других людей. Поэтому такой человек может быть очень жестоким, совершенно не осознавая этого (вследствие чего такого человека даже виноватым считать нельзя). Эта особенность проявляется в реальной жизни гораздо чаще, чем может показаться, вообще говоря, сплошь и рядом: люди очень по-разному воспринимают мир, поэтому часто причиняют боль другим людям, совершенно не желая этого и не понимая, что плохого в их действиях (более того, действия продолжаются даже после прямой просьбы этого не делать).

Абсолютной истины нет. Любое утверждение (о жизни), претендующее на роль истинного, может быть раскритиковано и сведено к абсурду.

В этой жизни можно о чём-то просто не успеть подумать. Можно на что-то не обратить внимания. Можно за всю жизнь не обратить внимание на то, что находится прямо перед носом и способно в корне перевернуть представление о мире.

Моменты счастья в этой жизни очень коротки, и даже в эти моменты человек испытывает противоречивые чувства: понимание, что этот момент не повторится, желание сохранить хоть что-то, чтобы можно было кому-то это показать или воспроизвести снова.

Чем сильнее страдание, тем более медленно текущим кажется время (события длятся дольше, по ощущениям).

Об окружающем мире можно строить модели и внушать себе (и очень успешно!), что они являются истинными.

Чтобы поддерживать хорошие отношения с человеком, нужно искусственно вносить в них негатив.

Иногда бывает такое, что у некоторых людей отношения могли бы быть чуть ли не идеальными, но этого не происходит. Всё постоянно мешает этому. У этих людей возникает непонятное отвращение друг к другу, они совершенно случайно говорят друг другу обидные вещи, начинают подозревать друг друга в разных «грехах», совместно попадают в нелепые ситуации, после которых обоим стыдно и так далее. В конечном итоге получается так, что эти люди вообще не общаются. И так должно быть! Очень хорошо совместимые люди здесь не должны пересекаться! А вполне нормальные отношения возникают как раз тогда, когда идеальностью и не пахнет.

Маленький дефект в чём-то может раздражать больше, чем если это что-то сплошь состоит из дефектов.

См. также:
Особенности земной жизни

- Мир полностью подчиняется законам физики. Мир – это некоторый случайный процесс. В некотором приближении его можно считать полностью детерминированным.

- Следствием законов физики является появление естественного отбора объектов и их признаков. При естественном отборе получают наибольшее распространение те признаки, которые лучше всех приспособлены к окружающей среде и лучше всего способны к воспроизводству.

- Свободы воли не существует, мир подчиняется законам физики. Но есть субъективное ощущение свободы воли, ты должен думать, что свобода воли у тебя есть, ты должен прилагать целенаправленные усилия, в противном случае ты будешь плыть по течению, и твои признаки не пройдут естественный отбор. Ощущение свободы воли у животных – это тоже результат естественного отбора.

- Религия М – это продукт естественного отбора. Если ты будешь ей следовать, твоя эволюционная эффективность повысится, потому что М – это одна из самых эффективных религий в плане естественного отбора. Будешь ты ей следовать или нет, определяется законами физики и естественным отбором, но практика показывает, что признак, соответствующий следованию ей, достаточно эффективен. Появление этого текста – это тоже результат естественного отбора.

- Доказательством эффективности религии М является большое количество её последователей, которые никогда не знали о её существовании (т.е., им не промывали мозги).

- Любые субъективные ощущения – это результат работы мозга. Никакой «души» не существует. Их появление у животных – это результат естественного отбора.

- Боль – системная реакция организма, возникающая на действие повреждающего фактора и направленная на избавление организма от него. Удовольствие – это аналогичная реакция на действие выгодного фактора.

- Никаких богов нет, а если и есть, то с нашим миром они не взаимодействуют => можно считать, что их нет. Жизни после смерти тоже нет, потому что кажущаяся «душа» – это результат процессов внутри тела. Нет тела – нет «души».

- Нужно любить и поддерживать своих родственников. Этот признак является результатом естественного отбора. Если ты не будешь любить родственников, то твои потомки с большой вероятностью не будут любить тебя, поэтому твои признаки в этом случае хуже приспособлены к условиям окружающей среды. Любовь к родственникам – результат естественного отбора. Но правило любви к родственникам не является универсальным, иногда в некоторых особых ситуациях нужно пожертвовать своими родственниками ради сохранения своих признаков. Такие отклонения тоже являются результатом естественного отбора.

- Нужно делать приятно другим, потому что таким образом ты способствуешь тому, что тебя будут поддерживать другие особи, т.е. твои признаки хорошо приспособлены. Делать приятно нужно до тех пор, пока это выгодно для поддержания существования твоих признаков. То, что ты делаешь добро, является результатом естественного отбора.

- Альтруизм иногда бывает полезен, потому что альтруистичные группы особей бывают очень приспособленными, устойчивыми и хорошо размножающимися.

- Иногда нужно причинять боль, потому что так ты можешь поставить себя в более выгодное положение по сравнению с другими особями. Причинение боли должно приносить пользу тебе. Перегибать палку тут нельзя, в противном случае вызовешь реакцию со стороны других особей, направленную на уничтожение тебя. Лучший способ – это распределить зло по максимальному количеству особей, чтобы каждый получил лишь небольшую дозу, которая явно недостаточна для возникновения ответной реакции. Исключением является случай непосредственной конкуренции – конкуренту можно дать заметную дозу, которая его устрашит. Следование этим правилам – это результат естественного отбора. В некоторых случаях этот механизм может привести к уничтожению признака, но тут ничего не поделаешь, это – несовершенство естественного отбора.

- Хорошо относись к сексуальным меньшинствам, а также к неполноценным людям, потому что они могут помочь тебе распространить твои признаки, но при этом не будут составлять тебе конкуренцию.

- Чем ближе особь к тебе по признакам, тем больше смысла с ней дружить.

- Нужно пытаться познать устройство мира. Знание устройства мира делает твои признаки более эффективными. Стремление к познанию окружающего мира – это результат естественного отбора.

- Познавать мир нужно только до определённого предела, потому что у мира есть много свойств, которые совершенно бесполезны для поддержания твоих признаков, но могут заставить тебя потратить много времени на их изучение (=> поставят тебя в невыгодное положение по сравнению с теми, кто потратил его на приспособление).

- Твоё мышление несовершенно, как и несовершенен естественный отбор. Ты можешь обнаружить в своём мышлении противоречия. Не пытайся установить смысл этих противоречий, потому что, во-первых, его нет, а, во-вторых, это как правило не нужно для распространения твоих признаков, а даже наоборот заставит тебя потратить впустую много времени, что поставит тебя в невыгодное положение по сравнению с другими особями. Особи, пытающиеся разобраться в «тенях разума», как правило, плохо размножаются и очень неприспособленны.

Здесь мы обратим внимание на одну особенность вымышленных сущностей – принципиальную невозможность их полной классификации, т.е. сопоставления каждой из них некоторого кода. Иными словами, не существует никакого «пространства вымышленных сущностей» (как и Платоновского «мира идей» :) ).  Проявляется это в том, что для любого, казалось бы, полного описания всех вымышленных сущностей, можно придумать сущность, которая под это описание не подходит. Это есть творческая природа ума человека (и, видимо, не только человека): можно в своём уме сотворить что-то такое, что никогда не было никем сотворено, не вписывается в рамки каких-то законов. Можно создать вымышленную сущность, которая не выражается через другие, уже созданные. Создание в своём разуме вымышленной сущности не сводится к её выбору из какого-то готового набора. Это есть настоящая свобода воли: можно не только выбирать любой вариант из нескольких возможных, но и создавать новые, и это создание никаким образом не сводится к выбору из уже имеющегося набора (как бы мы не расширяли и не обобщали этот набор).

Это входит в противоречие с общепринятой точкой зрения: каждой вымышленной сущности соответствует состояние мозга, поэтому эти сущности можно классифицировать, как и состояния мозга. Если подумать, можно понять, что эта общепринятая точка зрения абсурдна, однако многие люди охотно её придерживаются. Видимо, это связано с трудновоспринимаемостью, непонятностью и кажущейся противоречивостью этой самой творческой природы вымышленных сущностей (а также с чрезмерной популярностью материализма).

Примеры вымышленных сущностей:
1) Наши ощущения – то, что мы видим, слышим, осязаем и т.д. Эти сущности создаются как реакция на ту информацию, которая поступает нам из органов чувств. Но, тем не менее, в создании этих сущностей есть элемент произвольности. Например, когда мы видим что-то, мы можем разбить «картинку» на множество трёхмерных объектов, нам может казаться, что мы просто видим матрицу из точек, каждая из которых имеет определённый цвет, можем представлять клетчатую матрицу и т.д. Отметим, что, видимо, возможно и существование других типов ощущений, не сводящихся к известным пяти.
2) Воображаемые образы. Рассмотрим, к примеру, визуальные образы. Визуальный образ – это не просто матрица из пикселей или видеоролик. Отметим, что:
- Визуальный образ может быть нечётким. Но это не значит, что такой образ можно представить как размытую картинку или как вероятностное распределение на пространстве чётких образов или каким-то другим подобным образом. Любая комбинация чётких образов – это тоже чёткий образ. В нечётком есть некий недостаток информации, но просто через недостаток информации эту нечёткость описать тоже нельзя. Нечёткий образ – это особая сущность.
- Даже чёткий образ – это не матрица из пикселей. Более того, образы не имеют какой-либо размерности, т.е. не являются двухмерными, трёхмерными и т.д. (пока мы не решили считать его имеющим размерность), не имеют мощности (количества точек – конечного, счётного, континуального и т.д.). Более того, образы не состоят ни из точек, ни из элементарных фигур (если только мы сами не захотели считать этот образ состоящим из элементарных компонент). Эти образы как бы существуют вне пространства и времени.
- Образ может быть противоречивым, что не мешает ему существовать. Мы можем просто не задумываться об этом противоречии и не пытаться создать «полную картину».
3) Модели мироустройства. Это то, что мы думаем на предмет того, как устроен мир. Учёные-физики любят строить такие модели на основе математических сущностей, однако, в любой такой модели есть неуловимая связь между математическими сущностями и реальностью (сущностями – ощущениями), эта связь – это чистая мысль, её никак нельзя ни выразить, ни передать. Особый интерес представляют модели в умах людей, не надрессированных математикой и естественными науками. Модели, как и визуальные образы, могут быть противоречивыми, и это не мешает им существовать в виде вымышленных сущностей.
4) Идеи вообще. Например, идеи о том, как себя нужно вести в этой жизни, её смысл. Идея о том, что вымышленные сущности можно пытаться рассматривать и классифицировать – это тоже вымышленная сущность. Как и вообще идея о том, что в окружающем нас мире есть хоть какая-то логика. Да и сама логика – тоже вымышленная сущность. Идеи тоже очень часто бывают нечёткие и противоречивые, что им нисколько не мешает. Модели мироустройства – частный случай идей.
5) Математические сущности. Это самый примитивный вид вымышленных сущностей, это тот «каркас» вымышленных сущностей, который можно передавать от человека к человеку без искажений (с некоторыми оговорками) при условии, что оба человека достаточно надрессированы (и такая целенаправленная дрессировка возможна – тоже с некоторыми оговорками, см. ниже).

Можно отметить некоторые свойства, характерные для вымышленных сущностей:
1) Существуют вне какого-либо пространства (да и, впрочем, времени).
2) Могут быть принципиально нечёткими.
3) Могут быть противоречивыми.
4) Вообще, часто бывает, что многие вопросы про вымышленные сущности просто бессмысленны. Например, две одинаковые сущности – это две сущности или одна? Да как захотим ответить на этот вопрос, так и ответим. Является ли вымышленная сущность чем-то неделимым или состоит из частей? Да как захотим думать, так оно и будет. Если мы захотим думать, что сущность состоит из частей, то станет ли она после этого другой сущностью? Как хочешь, так и отвечай. Существует ли данная конкретная сущность? Хочешь – пусть существует, хочешь – можешь считать, что нет. Самый бессмысленный из вопросов: какие вообще бывают вымышленные сущности? Да какие хочешь, такие и бывают. Более подробно это будет рассмотрено на примере математических сущностей – множеств (сконструированных из пустых множеств). Сколько всего существует вымышленных сущностей – тоже вопрос бессмысленный (это тоже видно на примере множеств).
5) Человеческий разум свободен в придумывании вымышленных сущностей, но есть некоторый общий фон, тенденция, который связан с состоянием мозга.

Отметим ещё одну особенность человеческого мышления, показывающую наличие свободы в создании вымышленных сущностей: человек может внушить себе несуществование некоторых типов вымышленных сущностей, и они на самом деле для него не будут существовать, или он может внушить наличие у этих сущностей некоторых свойств, и они на самом деле для него будут обладать этими свойствами. Рассмотрим примеры. Если человек внушил себе, что любой цвет – это комбинация красного, синего и зелёного, то он и на самом деле будет видеть в любом цвете такую комбинацию. Если же он внушил себе, что каждый оттенок уникален и не выражается через другие, то этот человек каждый раз будет видеть новый особый оттенок. Если человек внушил себе, что никаких смыслов, идей не существует (существует только материя), то для него и не будет существовать никаких смыслов, они ему будут казаться фикцией. Если человек внушил себе, что свободы воли нет, а мир детерминирован, то он и не будет видеть у себя никакой свободы воли, зато будет ясно видеть, что будущее однозначно выводится из прошлого. Если человек внушил себе, что амплитуда звуков низких частот не может меняться быстро, то он всегда будет в изменении амплитуды таких звуков слышать плавный переход. Если же такого внушения не было, то резкое изменение амплитуды (появление/исчезновение) низкого звука для этого человека будет вполне в порядке вещей. Если себе внушить, что существует особое чувство течения времени, то это чувство будет вполне реальным, в проотивоположном же случае будет только соотношение временных интервалов между событиями и времени протекания процессов в мозгу. То же можно сказать и про чувство размера предметов. Если человек внушил себе, что мыслить можно только словами, то другие типы мышления будут для него недоступны. Если человек внушил себе, что все мысли – это только визуальные, слуховые, обонятельные, осязательные и вкусовые образы, то он и будет обращать внимание только на такие мысли, остальные будут «мимо тазика». И если человек внушил себе, что во всём воля божья, то он и будет видеть во всём божью волю, и ему это будет очевидно.

— (дальше можно не читать) —

Теперь подробнее о математических сущностях. Вообще говоря, вымышленные сущности не передаются от человека к человеку, они сугубо индивидуальны. Однако, математические сущности всё-таки кое-как передавать можно. Но даже этот маленький и примитивный подкласс обладает отмеченным свойством, которое так тяжело понимается людьми, – творческой природой и принципиальной невозможностью полной классификации. Примером математических сущностей являются натуральные числа: 1, 2, 3 и т.д. Отметим, что образованными людьми натуральные числа понимаются одинаково (хотя могут ассоциироваться с различными образами). Для натуральных чисел в некотором смысле возможна полная классификация.

Теперь о более общей математической сущности, с которой не всё так просто как с натуральными числами, – о множестве. Множество (по Кантору) – это многое, мыслимое как единое. Чтобы не мучиться с вопросом о том, что может, а что не может быть элементом множества (и чтобы задача классификации множеств сразу же не свелась к задаче классификации всех сущностей, как вымышленных, так и реально существующих :) ), договоримся, что:
1) Элементами множеств могут быть только множества.
2) Любое множество должно быть сконструировано из пустых множеств (этим мы сразу же исключим из рассмотрения различные непонятные множества, например, содержащие себя в качестве элемента). Иными словами, если взять множество и на каждом шаге заменять его на его элемент, то через конечное число шагов мы обязательно придём к пустому множеству вне зависимости от начального множества и от того, как мы будем выбирать элементы.
Примером «хорошего» множества является множество {ПУСТО, {ПУСТО}}. Оказывается, что даже эти «хорошие» множества нельзя полностью классифицировать. Это наглядно показывают парадоксы типа Кантора/Рассела. Рассмотрим один из их вариантов. Пусть мы классифицировали все хорошие множества, тогда разумно предположить, что мы можем рассмотреть совокупность всех таких множеств. Эта совокупность тоже будет хорошим множеством и, следовательно, должна быть в нашей классификации. Тогда это множество должно быть элементом себя, что противоречит пункту 2 (т.е. оно не может быть сконструировано из пустых множеств). Получаем противоречие. Выход здесь один: совокупность всех «классифицированных» множеств лежит вне классификации.

Казалось бы, что может мешать классифицировать все хорошие множества? Каждое такое множество представляется деревом, т.е. графом. В чём проблема классифицировать все деревья или все графы? Если задуматься над этим, то можно понять, что у любого графа есть носитель – множество, элементами которого являются его вершины. Например, если граф нарисован на листе бумаги, то носителем является лист бумаги. Носитель же может быть любым, состоять из абсолютно любых (в т.ч. вымышленных) сущностей. И проблема заключается именно в этом: нельзя описать все возможные носители. По этой же причине нельзя описать все возможные мощности множеств (т.е. какие бывают количества элементов в множествах): чем более абстрактные вымышленные сущности мы будем рассматривать в качестве носителей, тем бОльшие мощности мы сможем получать, а «уровни абстракции» так же не поддаются классификации, их выбор – процесс творческий. Например, можно в качестве носителей рассматривать натуральные числа, можно множества натуральных чисел, можно множества множеств, можно взять предел этой цепочки и так далее. Здесь свобода воли проявляется в полной мере: мы можем не только выбирать один из возможных вариантов, но и придумывать новые, принципиально иные.

Некоторые думают, что корень парадоксов типа Кантора/Рассела кроется в «дурной» бесконечности, т.е. в том, что абстрации бесконечности вообще не имеют никакого смысла. На самом же деле бесконечность здесь абсолютно не причём, здесь бесконечные и конечные множества принципиально ничем не отличаются. Например, если считать хорошими множествами только конечные множества, у которых конечны все элементы, элементы элементов и так далее, то совокупность всех хороших множеств опять же не будет хорошим множеством – она будет просто бесконечна.

Заметим, что из-за невозможности полной классификации математических сущностей передача математических сущностей от человека к человеку тоже может иметь проблемы. Это проявляется в том, что даже у математически образованных людей часто возникают проблемы с восприятием «высоких абстракций». В связи с этим люди обычно стараются этих абстракций избегать и пользуются «проверенными» абстракциями (несмотря на известные факты об ограниченности их возможностей).

Замечание 1. Есть такие направления исследований, как нечёткие логики, противоречивые логики и т.п. Они создавались как бы для того, чтобы как-то описать нечёткость и противоречивость человеческого мышления. Лично мне кажется, что к человеческому мышлению они никакого отношения не имеют, а выполняют функцию исключительно раздувания чувства собственной важности их создателей.

Замечание 2. Существует такая гипотеза, что вымышленные сущности как бы не обладают свойством принципиальной неклассифицируемости, но человек их классифицировать принципиально не может, связано это как бы с тем, что человеческое мышление принципиально не может понять собственное устройство. Оставим эту теорию на совести придурка, который её создал :)

См. также:
Мифы об основаниях математики
Логические парадоксы и биология
Высшие аксиомы бесконечности
Особенности земной жизни

1) Мракобесы: такие, которые во всём видят заговоры, порождения дьявола и бесов, которых непременно нужно изгонять. В-основном, это приверженцы авраамических религий и разные сектанты. Боятся попасть в ад, из-за чего постоянно перестраховываются. Думать и сомневаться в своей вере не хотят, потому что такие сомнения тоже считают проявлением дьявола и бесов. Хорошо изученный тип, поэтому подробно описываться не будет. Лечится крайне тяжело.

2) Люди, которые устройство мира считают парадоксальным, во всём видят принципиальную неразрешимость, непознаваемость, неопределённость, невозможность. К сожалению, таких людей очень много среди современных учёных (особенно молодых), в данное время быть таким маразматиком модно. Такие учёные плодят основанные ни на чём маразматические теории, например:
- теория множественности миров в физике (многомировая интерпретация квантовой механики), впрочем, к другим ортодоксальным интерпретациям КМ это тоже относится;
- все теории о том, что квантовомеханическое описание мира является полным;
- все теории о том, что мир полностью описывается линейным уравнением;
- конструктивистский подход к математике взамен классического;
- все теории сильного искусственного интеллекта.

Люди, не страдающие такого типа маразмом, этим маразматикам кажутся глуповатыми, ещё не дозревшими до понимания истины, бегущими от реальности слабаками или просто сильно закомплексованными людьми.

Среди всех возможных способов решения научных проблем эти маразматики выбирают самый маразматичный и самый пессимистичный (тоже перестраховка что ли?). Здравый смысл применяют выборочно, там, где им хочется его применить.

Главные распространители маразма – популяризаторы науки, такие, как, например, Хокинг, Фейнман, Вайнберг, Дойч. Приятное исключение – Роджер Пенроуз.

Течение болезни усугубляется собственными размышлениями, если человек не умеет относиться к ним самокритично. Чем их больше, тем труднее будет распутать клубок заблуждений.

Первый признак такого типа маразма – принятие на веру парадоксальных теорий без всяких попыток их опровергнуть в пользу непарадоксальных или хотя бы просто проверить и разобраться. Если среди многих способов решения научной проблемы есть хотя бы один немаразматический, то надо выбирать именно его, даже если он противоречит каким-то там модным «принципам» (потому что принцип имеет более низкий приоритет, чем немаразматичность).

Нередки случаи, когда второй тип маразматиков эволюционирует в первый, потому что корни болезни одни и те же – слепая вера во всякую хрень. При лечении нужно это учитывать, потому что первый тип лечить намного труднее.

См. также:
Тип людей: адекваты
Логические парадоксы и биология
Как воспитывать физика?
Два типа физиков

См. также:
Тип людей: адекваты
Что делает страх?