Magia и наука: ДУМАЙ и никому не верь на слово!

Этот креатив посвящается теореме Гёделя о недоказуемости непротиворечивости, она же вторая теорема Гёделя о неполноте. Пост предназначается для тех, кто желает разобраться, что это такое, не углубляясь в дебри математической логики. В отличие от некоторых научно-популярных источников, в которых всё настолько упрощено, что получается полная чушь, создающая кучу заблуждений, здесь я буду писать правду, хотя и избегая технических деталей. Возможно, прочтение этого текста поможет читателю избавиться от некоторых заблуждений и лучше осознать область применимости теоремы.

Если первая теорема Гёделя — это почти в чистом виде утверждение об алгоритмической неразрешимости, то вторая — это нечто более связанное с теорией доказательств, поэтому у многих может возникнуть впечатление, что, чтобы в ней разобраться, нужно предварительно осилить толстый и пугающий учебник по матлогике с огромными формализмами. Я же хочу убедить читателя, что это вовсе необязательно, здесь тоже вполне достаточно начальных знаний теории алгоритмов (основы теории алгоритмов можно изучить очень быстро, в отличие от логических формализмов). В этом тексте представлено чисто теоретико-алгоритмическое простое доказательство второй теоремы Гёделя, которое достаточно интуитивно понятно и не выглядит как логический фокус. Знание о первой теореме Гёделя не обязательно (она является частным случаем второй, поэтому представленное ниже доказательство можно применить и к ней).
Читать далее…

В этом сообщении я хочу рассказать о высших аксиомах бесконечности – такой вещи, про которую мало кто знает даже из математиков, а те, кто знает, как правило, запутались в заблуждениях. Есть такие люди, которые обожают мастурбировать на парадоксы. Они всегда готовы убедить вас, что человеческое мышление противоречиво из-за несовершенства эволюции, а математические рассуждения есть всего лишь чисто формальный вывод одних буковок из других, и эти люди всегда приведут различные доказательства этому, в том числе основанные на логических парадоксах, именно такие люди распространяют в массы больше всего заблуждений про основания математики вообще и теорию множеств в частности. Я же стараюсь убедить читателя, что все парадоксы – исключительно от глупости (не той, которая от несовершенства эволюции, а обычной, которая устраняется с помощью правильного обучения и физического выбивания дури). Поэтому я против мастурбаторов на парадоксы, ибо онанировать на собственную глупость – это плохо. Из-за таких вот популяризаторов-парадоксофилов многие считают, что проблемы оснований математики – это что-то настолько парадоскальное, противоречивое, что лучше туда просто не соваться, а использовать готовые проверенные годами аксиомы. Я не считаю это правильным. Всегда нужно понимать, откуда ноги растут.

Высшие аксиомы бесконечности (ВАБ) – это аксиомы, утверждающие в некотором смысле о существовании множеств очень большой мощности. Можно образно сказать, что они соотносятся с обычными теоретико-множественными аксиомами так же, как аксиома бесконечности (существования множества натуральных чисел) соотносится с аксиомами арифметики Пеано. Эти аксиомы – это не просто взятые с потолка утверждения, а вполне разумные расширения теории множеств, позволяющие получать “правильные”, “осмысленные” выводы.

Читать далее…

Из-за сложности вопроса и говнюков-популяризаторов вокруг оснований математики сложилось много мифов. Здесь я попробую рассмотреть три группы таких мифов: общего характера, о теории множеств и о теореме Гёделя о неполноте.

Читать далее…

ВСТУПЛЕНИЕ: ПРО ПАРАДОКСЫ И ЛЕНИВЫХ НЕДОУЧЕК

В последнее время появилась модная тенденция объяснять хорошо известные логические и математические парадоксы через биологию. Типа того, что в результате естественного отбора формируется мышление, приспособленное для решения практических задач, побочным эффектом которого является создание “математических сущностей”, которые бессмысленны, но в некоторых случаях помогают эффективно решать практические задачи (а в некоторых приводят к парадоксам и глюкам). На самом же деле такое объяснение не имеет с действительностью ничего общего, этому и посвящается этот креатив.

Читать далее…